数学分析课本-习题及答案01

习题

§1实数

1、 设a为有理数，x为无理数。证明： （1）a+ x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：

2（1）x（x-1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）x1-2x1≥3x2。

3、 设a、bR。证明：若对任何正数有|a-b|<，则a = b。 4、 设x≠0，证明|x+

1|≥2，并说明其中等号何时成立。 x5、 证明：对任何xR有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a、b、cR（R表示全体正实数的集合）。证明

|a2b2-a2c2|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗

7、 设x>0，b>0，a≠b。证明

axa介于1与之间。 bxb8、 设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则

p是无理数。

9、 设a、b为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b；（3）|x-a|1、 用区间表示下列不等式的解： （1）|1-x|-x≥0；（2）| x+

21|≤6； x（3）（x-a）（x-b）（x-c）>0（a，b，c为常数，且a2。 22、 设S为非空数集。试对下列概念给出定义： （1）S无上界；（2）S无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S有上界而无下界。 4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

（1）S={x|x<2}；（2）S={x|x=n！，nN}；（3）S={x|x为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-21，nN}。 2n5、 设S为非空有下界数集。证明：infS=S=minS。 6、 设S为非空数集，定义S={x|-xS}。证明：



（1）infS=-supS；（2）supS=-infS。

7、 设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，xA，yB}。证明： （1）sup（A+B）=supA+supB；（2）inf（A+B）=infA+infB。 8、 设a>0，a≠1，x为有理数。证明

sup{a|r为有理数，r1，

r

ax= inf{ar|r为有理数，r§3函数概念

1、 试作下列函数的图象：

3x,|x|1,3222（1）y=x+1；（2）y=(x1)；（3）y=1-(x1)；（4）y=sgn（sinx）；（5）y=x,|x|1,

3,|x|1.2、 试比较函数y=a与y=loga分别当a=2和a=

xx1时的图象。 23、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数f1（x）和f2（x）的解析表达式。 4、 确定下列初等函数的存在域：

（1）y=sin（sinx）；（2）y=lg（lgx）；（3）y=arcsin（lg

xx）；（4）y=lg（arcsin）。 10105、 设函数f（x）=2x,x0, x2,x0.求：（1）f（-3），f（0），f（1）；（2）f（Δx）-f（0），f（-Δx）-f（0）（Δx>0）。

6、 设函数f（x）=

112，求f（2+x），f（2x），f（x），f（f（x）），f（）。

f(x)1x7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：

sin（1）y=(1x)；（2）y=(arcsinx)；（3）y=lg（1+1x2）；（4）y=220222x。

8、 在什么条件下，函数y=

axb的反函数就是它本身

cxd9、 试作函数y=arcsin（sinx）的图象。 10、试问下列等式是否成立： (1)tan（arctanx）=x，xR； (2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+

，k=0，±1，±2，… 211、试问y=|x|是初等函数吗

12、证明关于函数y=[x]的如下不等式： （1）当x>0时，1-x11]≤1；（2）当x<0时，1≤x[]<1-x。 xx§4具有某些特性的函数

1、 证明f（x）=

x是R上的有界函数。 x211为（0，1）上的无界函数； 2x2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f（x）=

（3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函数。 3、 证明下列函数在指定区间上的单调性： （1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增； （2）y=sinx在[-

，]上严格递增； 22（3）y=cosx在[0，π]上严格递减。 4、 判别下列函数的奇偶性： （1）f（x）=

142（2）f（x）=x+sinx； x+x-1；

222x（3）f（x）=xe；（4）f（x）=lg（x+1x2）。

5、求下列函数的周期：

（1）cosx；（2）tan3x；（3）cos

2xx+2sin。 236、设函数f定义在[-a，a]上，证明：

（1）F（x）=f（x）+f（-x），x[-a，a]为偶函数； （2）G（x）=f（x）-f（-x），x[-a，a]为奇函数； （3）f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。 7、设f、g为定义在D上的有界函数，满足 f（x）≤g（x），xD。 证明：（1）supf（x）≤supg（x）；（2）inf f（x）≤infg（x）。

xDxDxDxD8、设f为定义在D上的有界函数，证明：

（1）sup{-f（x）}=-inff（x）；（2）inff（x）=-supf（x）。

xDxDxDxD9、证明：tanx在（-界。

，）上无界，而在（-，）内任一闭区间[a，b]上有222210、讨论狄利克雷函数 1，当x为有理数， D（x）= 0，当x为无理数 的有界性、单调性与周期性。

11、证明：f（x）=x+sinx在R上严格增。

12、设定义在[a，+∞）上的函数f在任何闭区间[a，b]上有界。定义[a，+∞）上的函数：m（x）=inff（y），M（x）=sup f（y）。

ayxayx试讨论m（x）与M（x）的图象，其中

（1）f（x）=cosx，x[0，+∞）；（2）f（x）=x，x[-1，+∞）。

2总练习题

1、 设a、bR，证明： （1）max{a，b}=

11（a+b+|a-b|）；（2）min{a，b}=（a+b-|a-b|）。 222、设f和g都是D上的初等函数。定义

M（x）=max{f（x），g（x）}，m（x）=min{f（x），g（x）}，xD 试问M（x）和m（x）是否为初等函数

3、设函数f（x）=

1x，求： 1x112），，f（x），f（f（x））。

f(x)xf（-x），f（x+1），f（x）+1，f（

4、已知f（

1）=x+1x2，求f（x）。 x5、利用函数y=[x]求解：

（1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）；

（2）正数x经四舍五入后得整数y，写出y与x之间的函数关系。 6、已知函数y=f（x）的图象，试作下列各函数的图象： （1）y==-f（x）；（2）y=f（-x）；（3）y=-f（-x）；（4）y=|f（x）|；

（5）y=sgnf（x）；（6）y=

11[|f（x）|+f（x）]；（7）y=[|f（x）|-f（x）]。 227、已知函数f和g的图象，试作下列各函数的图象：

（1）（x）=max{f（x），g（x）}；（2）（x）= min{f（x），g（x）}。 8、设f、g和h为增函数，满足f（x）≤g（x）≤h（x），xR。 证明：f（f（x））≤g（g（x））≤h（h（x））。

9、设f和g为区间（a，b）上的增函数，证明第7题中定义的函数（x）和（x）也都是（a，b）上的增函数。

10、设f为[-a，a]上的奇（偶）函数。证明：若f在[0，a]上增，则f在[-a，0]上增（减）。

11、证明：

（1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数； （2）两个偶函数之和与积都为偶函数； （3）奇函数与偶函数之积为奇函数。 12、设f，g为D上的有界函数。证明：

（1）inf{f（x）+g（x）}≤inff（x）+supg（x）；

xDxDxD（2）supf（x）+infg（x）≤sup{f（x）+g（x）}。

xDxDxD13、设f，g为D上的非负有界函数。证明： （1）inff（x）·infg（x）≤inf{f（x）g（x）}；

xDxDxD（2）sup{f（x）g（x）}≤supf（x）·supg（x）。

xDxDxD14、将定义在[0，+∞）上的函数f延拓到R上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。设

11x2,0x1,（1）f（x）=sinx+1；（2）f（x）=

3x,x1.15、设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数。证明：若f在[a，a+h]上有界，

则f在R上有界。

16、设f在区间I上有界。记

M=supf（x），m=inff（x）。

xIxI证明sup|f(x)f(x)|=M-m。

x,xI习题答案

§1实数

4、当x=±1时等号成立。

abab；当a>b时，x>； 22ab（2）当a>b时，x>；

29、（1）当a（3）当a≥b>0时，ab<|x|§2数集、确界原理

1、（1）x（-∞，

1）； 2（2）x[-3-8，-3+8]∪[3-8，3+8]； （3）x（a，b）∪（c，+∞）； （4）x[

3+2kπ，+2kπ]，k=0，±1，±2，…。 444、（1）supS=2，infS=-2；（2）supS=+∞，infS=1； （3）supS=1，infS=0；（4）supS=1，infS=

1 2§3函数概念

116x,0x,144x,0x2,11f2(x)=816x,x, 3、f1(x)=14244x,x1;20,1x1.24、（1）（-∞，+∞）；（2）（1，+∞）；（3）[1，100]；（4）（0，10）。 5、（1）-1，2，2；（2）2-2，-Δx。

x6、

1111x1,,,,. 3x12x1x22x2x207、（1）y=u，u=1+x；（2）y=u，u=arcsinv，v=x；

22（3）y=lgu，u=1+v，v=w，w=1+x；（4）y=2u，u=v，v=sinx。

2210、（1）成立；（2）不成立。

§4具有某些特性的函数

4、（1）偶；（2）奇；（3）偶；（4）奇。 5、（1）π；（2）

；（3）12π。 3总练习题

2、 是初等函数。（提示：利用第1题的结果）

1xx2x11x1x2,,,,,,x. 3、

1x2x1xx11x1x21x214、.

x|x|5、（1）y=[

x2]，x=30，31，…，50；（2）y=[x+]，x>O。 5sinx1,x0,sinx1,x0,14、（1）（ⅰ）f（x）=0,x0, （ⅱ）f（x）=

1sinx,x0;sinx1,x0,x3,x1,3x,x1,211x,1x0,211x,|x|1, （2）（ⅰ）f（x）=（ⅱ）f（x）=2311x,0x1,x,x1.3x,x1,典型习题解答

1、（§1的第3题）设a、bR。证明：若对任何正数有|a-b|<，则a = b。

证法一：（用反证法）假设a≠b，则a>b或a当a>b时，则|a-b|=a-b。令=a-b，则为正数，与|a-b|=a-b<矛盾； 当a证法二：已知任何正数有|a-b|<，则有-< a-b <。 当a-b <时，即a <+b，则根据P3的例2，有a≤b； 当-< a-b时，即b<+a，故有b≤a。 从而a = b。

2、（§2的第4（4）题）求数集S={x|x=1-以验证。

1，nN}的上、下确界，并依定义加2n解：由于0<

1111≤，故xS，有≤x<1。从而supS=1，infS=。 2222n1 k2先验证supS=1：由上已知xS，有x<1。又由于>0，kN，使得xk=1-

S，且xk=1-

1>1-。 k21111再证infS=：由上已知xS，有≤x。又由于>0，x1=1-=S，且

2222x1<

1+。 23、（§2的第5题）设S为非空有下界数集。证明：infS=S=minS。 证明：1））设infS=S，则xS，有x≥，而S，故是S中最小的数，

即=minS。

2））设=minS，则S。下证infS=。

①xS，有x≥，即是S的下界；②>，只须取x0=S，则x0<，从而不是S的下界。故=infS。

x是R上的有界函数。 2x1x2x2证明：已知xR，有2x≤1+x。从而xR，有||≤||≤1，即函221x1xx数f（x）=2在R上有界。

x1xx5、（§4第5（3）题）求函数y=cos+2sin的周期。

23xxx4x4x解：因为cos=cos（+2π）=cos（+）=cos，所以函数y1=cos的

222222xxx6x6x周期是4π；又因为sin=sin（+2π）=sin（+）=sin，所以函数y2=sin

333333xx的周期是6π。故函数y=cos+2sin的周期是12π。

234、（§4第1题）证明f（x）=

6、（§4第8题）设f为定义在D上的有界函数，证明： （1）sup{-f（x）}=-inff（x）；（2）inff（x）=-supf（x）。

xDxDxDxD证明：先证等式sup{-f（x）}=-inff（x）成立。

xDxD设inff（x）=，则由下确界定义知，xD，有f（x）≥，即- f（x）≤-，

xD可见-是- f（x）的一个上界；且>0，使得f（x0）<+，即- f（x0）>--，x0D ，

可见-是-f（x）的上界中最小者。

故sup{-f（x）}=-=-inff（x）。

xDxD同理可证等式inff（x）=-supf（x）成立。

xDxD