２０１０年０３月 内蒙古民族大学学报 Ｍａｒ．２０１０ 第ｌ６卷第２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｖ０１．１６ Ｎｏ．２ 浅谈线性变换的两个定理及证明 潘玉春 （赤峰平煤集团培训中心技工学校，内蒙古赤峰０２４０００） ［摘要］本文讨论了线性变换的两个定理及证明。 ［关键词］线性变换；向量 ［中图分类号１ｏ１５ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００８—５１４９（２０１０｝０２—０００７—０１ 假设Ｖ是ｎ维欧氏空问，｛ ｔ， ：，…， ｝是Ｖ的一个标准正交基， 是Ｖ上的一个线性变换。 定理１ 对于ｖ上的线性变换 ，在ｖ中有唯一确定的向量组∈ ，∈ …∈ 使ｏ－（ｕ）＝（“， －） 一十（“，邑） ＋…＋（ｕ毒） Ｖ Ｖ反之，在Ｖ中任给ｎ个向量∈ ，∈：…∈ ，有线性变换 满足（１）。 证：设 是ｖ 的线性变换，对每个 ∈Ｖ，令ｏｒ（ ）＝ １（Ｈ） １＋ ２（ ） ２＋…＋ （ ） ，则每个 ｌ（ｉ＝１，２，…，１７，） 是ｖ上的线性函数，故有唯一的 ∈Ｖ使 （ ）＝（“， ），Ｖ ∈Ｖ 从而证明了定理中的第一部分，定理的第二部分是显然的。 定理２设Ｖ上的线性变换 和Ｖ中的向量∈ ，∈ …∈ 满足定理ｌ的（１）式，则实数 是叮的特征值当且仅当向量组： 。一Ａｄ ， —Ａ ：，…， 一Ａ 线性相关，非零向量ｕ是 的属于特征值Ａ的一个特征向量，当且仅当ｕ属于 Ｌ（ ｌ—Ａ 一， 一Ａ ）的正交子空间。 证 非零向量ｕ是 的属于特征值Ａ的一个特征向量，必须且只需等式ｏ－（ｕ）＝Ａ 成立，设 ＝“。 。＋ｔ／２－０￣２＋…＋Ｕｎ０￣ｎ。 由定理１和（１）必须且只需（Ｍ， １）ｄＩ＋（／／，， ） ２＋…＋（ ， ） ＝Ａ（／／，１ ｌ＋ｔｔ２ ２＋…＋ｕ ｄ ）亦即 （“， ）＝Ａ （ｉ＝１，２，…，ｎ）于是Ａ＝０是特征值当且仅当有非零向量Ｕ满足（ｕ， ）＝０ ｉ＝１，２，…，ｎ即是说ｕ和∈ ， ∈：…∈ 都正交，从而与ｖ的子空间 （ ，岛，…， ）正交。所以Ａ＝Ｏ是特征值的充要条件为向量组∈，，∈：…∈ 线性相关，非 零向量ｕ是 的属于特征值Ａ＝０的特征向量，当且仅当ｕ在 （ ， ｚ，…， ）的正交子空间内。 下面讨论一般情况： 设ｔｒ＝ 一ＡＩ，，是Ｖ上的恒等变换。显然ｒ是ｖ上的线性变换。并且Ａ是 的特征值，当且只当０是７－的特征值。非零向 量ｕ是 的属于特征值Ａ的特征向量当且仅当非零向量Ｕ是 的属于特征值０的特征向量。 对于任意／／，∈Ｖ，设『上＝ １ １＋Ｕ２ ２＋…＋／２ｎ ，则 ｒ（ ）＝ （“）一Ａ（ ）＝∑（“， ） 一Ａ∑Ｕｉ ＝∑［（“， ）一Ａ 】 ＝∑［（ ， ）一Ａ（“， ）】ａ ＝∑（ｕ， 一Ａ ） 令＇７ ＝ 一Ａ ，ｉ＝１，２，…， 则由定理１，线性变换ｒ和向量组７ ，卵 ，…，叼 具有（１）的关系，对于线性变换ｆ应用已证结 果，０是７的特征值当且仅当７７ ， ，…，叼 线性相关，非零向量１１是ｒ的属于特征值０的的特征向量，当且仅当Ｕ属于 ，Ｊ（叩。，’７：，…，叩 ）正交子空间，换言之，Ａ是Ｏ－的特征值当且仅当 一Ａ ｔ， 一Ａａｚ，…， 一Ａａ 线性相关，非零向量ｕ是 的 属于特征值Ａ的特征向量当且仅当ｕ属于Ｌ（ 一Ａａ。， ：一Ａ ：，…， 一Ａ ）的正交子空间。定理证毕。 （责任校对郑瑛］ ［收稿日期］２００９—０７—０９ ［作者简介］潘玉春（１９６２一），男（蒙古族），内蒙古赤峰人，高级讲师。 ７
