函数的单调性与最值教案

北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事． 下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 二、复习预习

x12

分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x，y＝的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 三、知识讲解

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考点1 函数单调性的定义：

如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数． 考点2

函数的单调性及函数的最值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．．．

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四、例题精析

例1

【题干】证明函数f(x)＝x＋2

x在(2，＋∞)上是增函数．

【答案】证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，设元

f(x－f(x22

1)2)＝x1＋x1

－x2＋x求差2

＝(x1

－x2

)＋22

x－1

x2



＝(x2(x2－x1)21－x2)＋xx＝(x1－x2)1－

＝(x－x)x1

x2

－212



xx1

2

1

2

x，变形

1x2

∵2＜x1＜x2，

∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号∴函数f(x)＝x＋2

x在(2，＋∞)上是增函数．

【解析】证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，设元

f(x)－f(x＝

x22

12)1＋x－x2＋求差1x2

＝(x22

1－x2)＋x－1

x2

＝(x－x2(x2－x1)2x1x2－2

12)＋xx＝(x1－x2)1－x＝(x1－x2)，变形1x2x 12x12∵2＜x1＜x2，

∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号∴函数f(x)＝x＋2

x在(2，＋∞)上是增函数．

例2

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【题干】求函数y＝

2

在区间[2,6]上的最大值和最小值． x－1

2

在区间[2,6]上取得最大值f(2)＝2； x－1

22

当x＝6时，函数y＝在区间[2,6]上取得最小值f(6)＝. x－15【解析】设2≤x1＜x2≤6，则有

222[(x2－1)－(x1－1)]2(x2－x1)

f(x1)－f(x2)＝－＝＝. x1－1x2－1(x1－1)(x2－1)(x1－1)(x2－1)∵2≤x1＜x2≤6，

∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.

2

∴f(x1)＞f(x2)，即函数y＝在区间[2,6]上是减函数． x－1

2

∴当x＝2时，函数y＝在区间[2,6]上取得最大值f(2)＝2； x－1

22

当x＝6时，函数y＝在区间[2,6]上取得最小值f(6)＝. x－15【答案】∴当x＝2时，函数y＝例3

【题干】画出函数y＝－x＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．

2

【答案】函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函数，最大值是4. 【解析】函数图象如图6所示．

图6

由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函数，最大值是4. 五、课堂运用【基础】

1、把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )

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A．

32222

3cm B．4 cm C．32cm D．23cm 2

【答案】D

【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S，则S＝＝2时，S取最小值23cm.故选D.

2

3233

x＋(4－x)2＝(x－2)2＋23≥23.当x442

2、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润． 【答案】售价定为12元时可获最大利润160元.

【解析】设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝(x－8)[60－(x－10)·10]

22

＝－10[(x－12)－16]＝－10(x－12)＋160(10＜x＜16)， 当且仅当x＝12时，y有最大值160元， 即售价定为12元时可获最大利润160元. 【巩固】

1、证明函数f(x)＝x－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．

2

【答案】证明：设x1，x2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x2＞x1≥2，则 f(x1)－f(x2)

＝(x1－x2)(x1＋x2)－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)． ∵x2＞x1≥2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞4， 即x1＋x2－4＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．

2

∴函数f(x)＝x－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．

【解析】证明：设x1，x2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x2＞x1≥2，则 f(x1)－f(x2)

＝(x1－x2)(x1＋x2)－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．

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∵x2＞x1≥2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞4， 即x1＋x2－4＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．

2

∴函数f(x)＝x－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．

x1，x∈[1,3]，求函数的最大值和最小值． x1x11【答案】函数f(x)在区间[1,3]的两个端点处分别取得最小值及最大值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0；在x＝3时取得最大值，最大值是

x12x1x122【解析】f(x). =1x1x1x1221+设x，x是区间[1,3]上的任意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x)＝1 x11x21由1≤x＜x≤3，得x－x＜0，(x＋1)(x＋1)＞0， 于是f(x)－f(x)＜0， 即f(x)＜f(x)．

x1所以，函数f(x)是区间[1,3]上的增函数．

x1x11因此，函数f(x)在区间[1,3]的两个端点处分别取得最小值及最大值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0；在x＝3时取得最大值，最大值是.

x122、已知函数

f(x)121212

121212

12

12

【拔高】

1、已知函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．

2

a1,a1,【答案】或

b0b3.【解析】f(x)＝ax－2ax＋2＋b＝a(x－1)＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1. (1)当a＞0时，f(x)在[2,3]上是增函数．

2

2

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∴f(2)2,即2b2,f(3)53a2b5, 解得a1,b0.

(2)当a＜0时，f(x)在[2,3]上是减函数，

∴f(2)5,即2b5,f(3)2,3a2b2,

解得a1,b3.

综上所述，a1,或b0a1,b3.

2、求函数y＝1

x2

＋x＋1

的最大值． 【答案】函数y＝

1x2

＋x＋1的最大值是4

3

【解析】函数的定义域是R， 可以证明当x＜－12时，函数y＝1

x2＋x＋1

是增函数；当x≥－12时，函数y＝1

x2＋x＋1

是减函数． 则当x＝－12时，函数y＝14

x2＋x＋1取最大值3， 即函数y＝1x2

＋x＋1的最大值是4

3

课程小结

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1、函数单调性的证明 2、求函数最值的方法：

①图象法，②单调法，③判别式法；

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