八年级上册数学全等三角形、轴对称常考几何解答题

八年级上册数学全等三角形、轴对称常考几何解答题

1．如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．

2．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在边AB，BC上，且BE＝CD，BF＝CA，连接EF．

（1）求证：∠2＝∠D；

（2）若EF∥AC，∠D＝74°，求∠BAC的度数．

3．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：

BC＝DE．

4．如图，点D、C在线段BF上，且BD＝CF，AB∥EF，AB＝EF，判定AC与DE的位置关系，并说明理由．

5．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BF＝EC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，若S△ABC＝9，DE＝6，求CG的长．

6．如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且

BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．

（1）求证：∠BEC＝∠BAF；

（2）判断△AFC的形状并说明理由．

（3）若CD＝2，求EF的长．

7．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点

C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试

证明你的结论．

8．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

（1）说明BD＝CE；

（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；

（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

9．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．

（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；

（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．

10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF＝∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连接

CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝

BF+2BE．

11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）延长BD交CE于点F，若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，求线段DF的长．

12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．

（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；

（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．

13．如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：

（1）AP＝AQ；

（2）AP⊥AQ．

14．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、

OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．

求证：OC是∠AOB的平分线．

15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．

（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．

16．已知△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；

（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝6，

CD＝8，求BD的长

17．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，

AC于EF交于点O．

（1）求证：∠3＝∠B；

（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB＝180°．

18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是

BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度数；

（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．

19．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连

接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．

（1）请说出AD＝BE的理由；

（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；

（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点

D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．

（1）说明：AE＝CE＝BE；

（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

21．（1）如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1，P2是点P关于

AB、AC的对称点，连接P1P2，分别交AB、AC于点D、E．

①若∠A＝52°，求∠DPE的度数；

②请直接写出∠A与∠DPE的数量关系；

（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1，P2与点A是否在同一直线上，并说明理由．

22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，

AD，AB于点E，O，F．

（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；

（2）若∠CAD＝20°，求∠BOF的度数．

24．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、

DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．

（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．

2021年八年级上册数学常考几何解答题

参与试题解析

一．解答题（共24小题）

1．如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．

【解答】证明：∵AC＝BD，

∴AC+CD＝DB+CD，

即AD＝BC，

在△ADE和△BCF中，

，

∴△ADE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF．

2．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在边AB，BC上，且BE＝CD，BF＝CA，连接EF．

（1）求证：∠2＝∠D；

（2）若EF∥AC，∠D＝74°，求∠BAC的度数．

【解答】（1）证明：在△BEF和△CDA中，

，

∴△BEF≌△CDA（SAS），

∴∠2＝∠D．

（2）解：∵EF∥AC，

∴∠BAC＝∠2，

由（1）知，∠2＝∠D，

∴∠BAC＝∠D，

∵∠D＝74°，

∴∠BAC＝74°．

3．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：

BC＝DE．

【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，

∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．

即：∠BAC＝∠EAD．

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

∴BC＝DE．

4．如图，点D、C在线段BF上，且BD＝CF，AB∥EF，AB＝EF，判定AC与DE的位置关系，并说明理由．

【解答】解：AC∥DE．

理由：∵BD＝CF，

∴BD+CD＝CF+CD，

即BC＝DF，

∵AB∥EF，

∴∠B＝∠F，

在△ABC和△EFD中，

，

∴△ABC≌△EFD（SAS），

∴∠ACB＝∠EDF，

∴AC∥DE．

5．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BF＝EC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，若S△ABC＝9，DE＝6，求CG的长．

【解答】证明：（1）∵BF＝CE，

∴BF+CF＝CE+CF，

∴BC＝EF，

∵AB∥DE，AC∥DF，

∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE＝90°，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）；

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴AB＝DE＝6，

∵S△ABC＝×AB×CG＝9，

∴6CG＝18，

∴CG＝3．

6．如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且

BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．

（1）求证：∠BEC＝∠BAF；

（2）判断△AFC的形状并说明理由．

（3）若CD＝2，求EF的长．

【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABF，

在△BEC和△BAF中，

，

∴△BEC≌△BAF（SAS），

∴∠BEC＝∠BAF；

（2）△AFC是等腰三角形．

证明：过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，如图，

∵BA＝BE，BC＝BF，∠ABF＝∠CBF，

∴∠AEB＝∠BCF，

∵∠BEC＝∠BAF，

∴∠GAF＝∠AEB＝∠BCF，

∵BF平分∠ABC，FD⊥BC，FG⊥BA，

∴FD＝FG，

在△CDF和△AGF中，

，

∴△CDF≌△AGF（AAS），

∴FC＝FA，

∵△ACF是等腰三角形；

（3）设AB＝BE＝x，

∵△CDF≌△AGF，CD＝2，

∴CD＝AG＝2，

∴BG＝BA+AG＝x+2，

在Rt△BFD和Rt△BFG中，

，

∴△BFD≌△BFG（HL），

∴BD＝BG＝x+2，

∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4，

∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4．

7．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点

C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试

证明你的结论．

【解答】解：CE＝BD且CE⊥BD，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠CAD+∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE．

∵∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ABD+∠DBC，

∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝90°，

∴∠BDC＝90°，

∴BD⊥CE．

8．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

（1）说明BD＝CE；

（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；

（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD＝CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，

∴∠ACE＝∠ABD，

而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF

又∵∠CDF＝∠BDA

∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA

＝∠DAB

＝90°；

（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：

如图2，

△ABC、△ADE是等腰直角三角形

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，

∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD

∴∠BAD＝∠CAE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，

∵∠1＝∠2，

∴∠FCA+∠BFC＝∠CAB+∠ABD

∴∠BFC＝∠CAB＝90°．

9．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．

（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；

（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，

即∠DAB＝∠EAC，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BE+CE＝BD+BE；

（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，

即∠DAB＝∠EAC，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．

10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF＝∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连接

CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝

BF+2BE．

【解答】证明：（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，

∵EB＝EH，AE⊥BF，

∴AB＝AH，

∵AB＝AH，AE⊥BH，

∴∠BAE＝∠EAH，

∵AB＝AC，

∴AC＝AH，

∵∠EAF＝∠BAC

∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，

∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，

∴∠CAF＝∠HAF，

在△ACF和△AHF中，

，

∴△ACF≌△AHF（SAS），

∴CF＝HF，

∴EF＝EH+HF＝BE+CF；

（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，

∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，

∴AN＝AB＝AC，

∵AN＝AB，AE⊥BN，

∴∠BAE＝∠NAE，

∵∠EAF＝∠BAC

∴∠EAF+∠NAE＝（∠BAC+2∠NAE）

∴∠FAN＝∠CAN，

∴∠FAN＝∠CAF，

在△ACF和△ANF中，

，

∴△ACF≌△ANF（SAS），

∴CF＝NF，

∴CF＝BF+2BE．

11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）延长BD交CE于点F，若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，求线段DF的长．

【解答】证明：（1）由图1可知：∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）如图2，连接AF，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝∠ADF＝90°，

∵△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE＝6，∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴EF＝CE﹣CF＝2，

∵AF＝AF，AD＝AE，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），

∴DF＝EF＝2．

12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．

（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；

（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．

【解答】解：（1）∵AD＝2BD，S△BDC＝6，

∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，

∵E为CD中点

∴＝6，

∵EH⊥AC

∴AC•EH＝6

∵EH＝2

∴AC＝6

∵AB＝AC

∴AB＝6

（2）如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，

在△BED和△GEC中，

∴△BED≌△GEC（SAS）

∴BD＝CG，∠ABE＝∠G

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB

∵∠A＝∠CBF

∴∠ABF+∠A＝∠ACB

∵∠BFC＝∠ABF+∠A

∴∠BFC＝∠ACB

∴BF＝BC

∵∠A＝∠ABE＝∠CBF

∴∠A＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF

∴∠ABF＝∠GBC

在△ABF和△GBC中，

∴△ABF≌△GBC（AAS）

∴AF＝CG

又∵BD＝CG

∴AF＝BD

∵AF+CF＝AC，AB＝AC

∴BD+CF＝AB

13．如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：

（1）AP＝AQ；

（2）AP⊥AQ．

【解答】证明：（1）∵AC⊥BE，AB⊥QC，

∴∠BFP＝∠CEP＝90°，

∴∠BAC+∠FCA＝90°，∠ABP+∠BAC＝90°

∴∠FCA＝∠ABP，

在△QAC和△APB中，

，

∴△QAC≌△APB（SAS），

∴AP＝AQ；

（2）∵△QAC≌△APB，

∴∠AQF＝∠PAF，

又AB⊥QC，

∴∠QFA＝90°，

∴∠FQA+∠FAQ＝90°，

∴∠FQA+∠PAF＝90°，

即∠PAQ＝90°，

∴AP⊥AQ．

14．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．

求证：OC是∠AOB的平分线．

【解答】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，

分别是OA、

G

∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），

∴PD＝PE，

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．

15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．

（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．

【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∵EC＝ED，

∴∠ACD＝∠EDC，

∴∠BCD＝∠EDC，

∴DE∥BC；

（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，

∴∠AEF＝60°，

∵∠ACB＝80°，DE∥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝80°，

∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．

16．已知△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；

（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝6，

CD＝8，求BD的长

【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△BAE和△CAD中，，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴CD＝BE；

（2）解：连接BE，如图2所示：

∵CD垂直平分AE，

∴DA＝DE，

∵∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵CD垂直平分AE，

∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，

∵△BAE≌△CAD，

∴BE＝CD＝8，∠BEA＝∠CDA＝30°，

∴BE⊥DE，

DE＝AD＝6，

∴BD＝

＝＝10．

17．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，

AC于EF交于点O．

（1）求证：∠3＝∠B；

（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB＝180°．

【解答】证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠1＝∠2，

∵AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，

∴AF＝DF，

∴∠4＝∠DAF＝∠2+∠3，

∵∠4＝∠1+∠B，

∴∠3＝∠B；

（2）∵EF是AD的中垂线，

∴OA＝OD，

∴∠2＝∠ODA，

∵∠4＝∠DAF，

∴∠3＝∠ODF，

∵∠3＝∠B，

∴∠ODF＝∠B，

∴OD∥AB，

∴∠B+∠ODB＝180°．

18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是

BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度数；

（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．

【解答】解：（1）如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABC＝30°；

（2）

∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形，

∴OP＝PC，

∴点P在OC的垂直平分线上．

19．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．

（1）请说出AD＝BE的理由；

（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；

（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形

∴AC＝BC，EC＝DC

∠ACB＝∠ECD＝60°

∴∠ACD＝∠ECB

∴△ACD≌△BCE

∴AD＝BE；

（2）∵△ACD≌△BCE

∴∠CBH＝∠CAG

∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上

∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°

又∵AC＝BC

∴△ACG≌△BCH；

（3）△CGH是等边三角形，理由如下：

∵△ACG≌△BCH

∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）

又∵∠ACG＝60°

∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；

20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点

D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．

（1）说明：AE＝CE＝BE；

（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

【解答】解：（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，

∴DF垂直平分线段AC，

∴AE＝EC，

∴∠ACE＝∠CAE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，

∴∠BCE＝∠B，

∴CE＝EB，

∴AE＝CE＝BE．

（2）连接PA，PB，PC．

∵DA⊥AB，

∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，

∴∠CAB＝30°，

∴∠B＝60°，

∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．

∴AB＝12，

∵DE垂直平分AC，

∴PC＝AP，

∴PB+PC＝PB+PA，

∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，

∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．

21．（1）如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1，P2是点P关于

AB、AC的对称点，连接P1P2，分别交AB、AC于点D、E．

①若∠A＝52°，求∠DPE的度数；

②请直接写出∠A与∠DPE的数量关系；

（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1，P2与点A是否在同一直线上，并说明理由．

【解答】解：（1）①∵P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，

∴PD＝P1D，PE＝P2E，

∴∠EDP＝2∠DPP1，∠DEP＝2∠EPP2，

∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A＝180° ①，

2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2＝180° ②

②﹣①得：∠DPP1+∠EPP2＝∠A，

∵∠A＝52°，

∴∠DPP1+∠EPP2＝52°，

∴∠DPE＝180°﹣（∠PDE+∠DEF）

＝180°﹣2（∠DPP1+∠EPP2）

＝180°﹣104°＝76°．

（2）由（1）可知：∠DPE＝180°﹣2∠A．

（3）点P1，P2与点A在同一条直线上．

理由如下：连接AP，AP1，AP2．

根据轴对称的性质，可得∠4＝∠1，∠3＝∠2，

∵∠BAC＝90°，

即∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

即∠P1AP2＝180°，

∴点P1，P2与点A在同一条直线上．

22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，

∴OC＝CD，

而△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，

∵∠ACB＝∠OCD＝60°，

∴∠BCO＝∠ACD，

在△BOC与△ADC中，

∵，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC＝∠ADC，

而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，

则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，

∴b﹣d＝10°，

∴（60°﹣a）﹣d＝10°，

∴a+d＝50°，

即∠DAO＝50°，

①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，

∴190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°；

②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，

∴α﹣60°＝50°，

∴α＝110°；

③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，

∴190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，

AD，AB于点E，O，F．

（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；

（2）若∠CAD＝20°，求∠BOF的度数．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵AD是BC的垂直平分线，

∴BO＝CO，

∵OE是AC的垂直平分线，

∴AO＝CO，

∴BO＝AO，

∴点O在AB的垂直平分线上；

（2）解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∵∠CAD＝20°，

∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠CAB＝40°，

∵OE⊥AC，

∴∠EFA＝90°﹣40°＝50°，

∵AO＝CO，

∴∠OBA＝∠BAD＝20°，

∴∠BOF＝∠EFA﹣∠OBA＝50°﹣20°＝30°．

24．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、

DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．

（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．

【解答】解：（1）∵EF∥AB．

∴∠FEC＝∠A＝30°．

∠EFC＝∠B＝30°

∴EC＝CF．

又∵AC＝BC

∴AE＝BF

D是AB中点．

∴DB＝AD

∴△ADE≌△BDF．

∴DE＝DF

（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

又∵∠ACB＝120°，

∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，

∴∠ADM＝∠BDN＝60°，

∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．

∵AC＝BC、AD＝BD，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴DM＝DN．

由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：

一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：

DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．

二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：

∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，

∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，

∴∠EDM＝∠FDN，

又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE＝DF．

三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：

∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，

∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，

∴∠EDM＝∠FDN，

又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE＝DF．

综上一、二、三所述，得：DE＝DF．