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湖南省株洲市醴陵二中2015届高三数学上学期第九次月考试卷文(含解析)

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湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷（文

科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中．） 1．（5分）设合集U=R，A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A． {x|x＞1}

B． {x|0＜x＜2}

C． {x|1＜x＜2}

D． {x|x＞2}

2．（5分）已知i为虚数单位，则 A．第一象限

B．第二象限

在复平面内对应的点位于（）

C．第三象限

D．第四象限

3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）

A． 1

B． 2 C． 3

D． 4

4．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x+y=1相切，则p是q的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）

A． 5

6．（5分）设向量 A． 4

B． 11 C． 23 D． 47

，

B． ﹣2

，则C． 2

=（） D． 6

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7．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（）

A． y=2sin（2x+ y=2sin（2x﹣

） B． y=2sin（2x+）

） C．

y=2sin（﹣

） D．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．

9．（5分）过点（π，1）且与曲线y=sinx+cosx在点（（） A． y=x﹣1+π

，1）处的切线垂直的直线方程为

B．

C．

D． 5π

B． y=x+1﹣π C． y=﹣x+1+π D． y=﹣x﹣1+π

10．（5分）己知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f

（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）

A．（1，2010） B．（2，2011） C．（2，2013） D．

二、填空题（每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置）【坐标系与参数方程】 11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线参数）的距离的最大值为．

（t为

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 12．（5分）已知数列{an}为等差数列，且a7=

13．（5分）F1，F2是双曲线交点为A，满足

的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的，则m的值为．

，则tan（a2+a12）=．

14．（5分）已知函数：f（x）=x+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：

的事件为A，则事件A发生的概率为．

15．（5分）数列{an}满足a1=1，

=2，

=3（k≥1，k∈N），则

（1）a3+a4=；

（2）其前n项和Sn=．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若

，且

，求a和c的值．

17．（12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人） 100 173 y 男生（人） x 177 z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率． 18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED⊥平面SAB；

（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

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19．（13分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

（n∈N）．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an•bn，求证：cn+1＜cn （3）求数列{cn}的前n项和Tn．

20．（13分）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

，又椭圆上任一点到

两焦点的距离和为2．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；

（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（13分）函数f（x）=ax﹣﹣2lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞

，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m﹣n，求S取值范围．

湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷（文科）参与试题解析

A． {x|x＞1}

B． {x|0＜x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|x＞2}

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考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．

分析：已知集合A，B，由韦恩图表示的阴影部分为A∩B，按照交集的含义结合数轴求解即可．

解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，图示中阴影部分表示的集合为A∩B，所以A∩B=（1，2）故选C．

点评：本题考查集合的含义、运算和表示、Venn图表达集合的关系及运算等知识，考查数形结合思想在解题中的应用．

2．（5分）已知i为虚数单位，则

在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点：复数的基本概念．

分析：将复数的分子、分母同乘以i，利用多项式的乘法分子展开，将i用﹣1代替；利用复数对应点的坐标实部为横坐标，虚部为纵坐标，判断出所在的象限．解答：解：

所以z在复平面内对应的点为（1，﹣1）位于第四象限故选D

点评：本题考查利用复数的除法法则：分子，分母同乘以分母的共轭复数、考查复数对应点的坐标是以实部为横坐标，虚部为纵坐标．

3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．

分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出特殊点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．

解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3 故选：C．

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点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键．

4．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x+y=1相切，则p是q的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

考点：直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．

222

解答：解：由q：直线y=kx+2与圆x+y=1相切，∴1+k=4，∴k=±，显然p⇒q；q得不出p 故选A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，是基础题． 5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）

A． 5 B． 11 C． 23 D． 47

考点：循环结构．

专题：计算题；图表型．

分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，满足条件，执行B=2B+1，一旦不满足条件就退出循环，输出B，从而到结论．解答：解：首先给循环变量A和输出变量B赋值3、2．

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A=3≤5，B=2×2+1=5，A=3+1=4； 4≤5，B=2×5+1=11，A=4+1=5； 5≤5，B=2×11+1=23，A=5+1=6； 6＞5，输出B的值为23，算法结束．故选C．

点评：本题考查了当型循环结构，当型循环先判断再执行，满足条件进入循环，否则，算法结束．

6．（5分）设向量

，

，则

=（）

A． 4 B． ﹣2 C． 2 D． 6

考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：求出向量解答：解：因为向量所以

的坐标表示，然后直接利用向量的数量积求出所求的值．

，

，所以

=（1.1），

=（1，1）（1，3）=4．

故选A．

点评：本题是基础题，考查向量的数量积应用，考查计算能力． 7．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（）

A． y=2sin（2x+ y=2sin（2x﹣

） B． y=2sin（2x+）

） C．

y=2sin（﹣

） D．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．

分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．

解答：解：由于最大值为2，所以A=2；又

．

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ∴y=2sin（2x+φ），将点（结合点的位置，知∴函数的解析式为可为

，2）代入函数的解析式求得

，

故选B．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题． 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D． 5π

考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．

分析：根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，

圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3 则V=

故选：A

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状和底面半径，高等数据是解答的关键．

9．（5分）过点（π，1）且与曲线y=sinx+cosx在点（

，1）处的切线垂直的直线方程为

（） A． y=x﹣1+π B． y=x+1﹣π C． y=﹣x+1+π

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．

分析：求出原函数的导函数，得到曲线y=sinx+cosx在点（

D． y=﹣x﹣1+π

，1）处的切线的斜率，由相

互垂直的两直线的斜率的关系求得所求直线的斜率，再由点斜式方程即可得到．

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 解答：解：由y=sinx+cosx，得： y′=cosx﹣sinx， ∴f′（

）=﹣1，

处的切线的斜率为﹣1．

，1）处的切线垂直的直线的斜率为1，

即曲线y=sinx+cosx在x=

则与曲线y=sinx+cosx在点（

即有所求的直线方程为：y﹣1=x﹣π，即y=x+1﹣π．故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了曲线上某点处的切线的斜率的求法，同时考查两直线垂直的条件，考查运算能力．

10．（5分）己知函数f（x）=

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f

（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（） A．（1，2010） B．（2，2011） C．（2，2013） D．

考点：函数与方程的综合运用．专题：作图题；函数的性质及应用．

分析：先利用三角函数、对数函数的图象和性质，画出函数f（x）的图象，再利用图象数形结合即可发现a、b、c间的关系和范围，最后求得所求范围解答：解：函数f（x）的图象如图：设a＜b＜c，由图数形结合可知：a+b=2×=1， 0＜log2012c＜1，∴1＜c＜2012 ∴2＜a+b+c＜2013．故选C．

点评：本题主要考查了分段函数的图象和性质，三角函数、对数函数的图象和性质，方程的根与函数图象间的关系，数形结合的思想方法，属基础题

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二、填空题（每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置）【坐标系与参数方程】 11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线

（t为

参数）的距离的最大值为．

考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题．

分析：把极坐标方程和参数方程化为普通方程，求出圆心（1，0）到直线的距离，最大距离等于此距离再加上半径．

2222

解答：解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为普通方程即 x+y=2x，（x﹣1）+y=1，表示圆心为（1，0），半径等于1的圆．直线

（t为参数）的普通方程为 2x﹣y+2=0，

圆心（1，0）到直线的距离等于 =，

故曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为 +1=，

故答案为：．

点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．

12．（5分）已知数列{an}为等差数列，且a7=

，则tan（a2+a12）=

．

考点：等差数列的性质．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：由等差数列的性质可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．解答：解：∵a7=

，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan

故答案为：．

点评：本题考查等差数列的性质，涉及三角函数的知识，属基础题．

13．（5分）F1，F2是双曲线交点为A，满足

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的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的，则m的值为2+2

．

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出A的坐标，再利用

，可得2c=

），即可求出m

的值．

解答：解：由题意，b=，c=，F2（c，0）， ∵过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A， ∴A（c，∵∴2c=

，），），

∴2=m，

∴m=2+2．

故答案为：2+2．

点评：本题考查双曲线的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

14．（5分）已知函数：f（x）=x+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：

的事件为A，则事件A发生的概率为．

考点：几何概型．

专题：综合题；概率与统计．

分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为内作出不等式组0≤b≤4，0≤c≤4和

，因此在同一坐标系

对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和

四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．

解答：解：∵f（x）=x+bx+c， ∴不等式

，可得

以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，将不等式0≤b≤4，0≤c≤4和

对应的平面区域作出，如图所示

不等式组0≤b≤4，0≤c≤4对应图中的正方形ODEF，其中 D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16 不等式组

对应图中的四边形OHGF，

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10 ∴事件A发生的概率为P（A）=故答案为：．

点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．

15．（5分）数列{an}满足a1=1，（1）a3+a4=18；

=2，

=3（k≥1，k∈N），则

（2）其前n项和Sn=．

考点：数列递推式．专题：计算题．分析：（1）由a1=1，

=2，

=3可得a2=2a1，a3=3a2，a4=2a3，可求a3+a4

（2）由已知可得a2k+1=3a2k=3（2a2k﹣1）=6a2k﹣1，则数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列；由a2k=2a2k﹣1即偶数项都是前一项的2倍，从而对n分类讨论：分n=2k时，当n=2k﹣1两种情况，利用等比数列的求和公式分别求解解答：解：（1）∵a1=1，∴a2=2a1=2，a3=3a2=6，a4=2a3=12 ∴a3+a4=18 （2）∵a1=1，

=2，

=3 =2，

∴a2k+1=3a2k=3（2a2k﹣1）=6a2k﹣1

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ∴数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列 ∵a2k=2a2k﹣1即偶数项都是前一项的2倍当n=2k时，Sn=a1+a2+a3+„+an =1+2×1+6+2×6+6+2×6+„+=3（1+6+„+

）

+2×

当n=2k﹣1时，Sn=a1+a2+a3+„+an

=1+2×1+6+2×6+„+﹣2×=

故答案为：18；

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解是数列的项及等比数列的求和公式的应用，解题中体现了分类讨论的思想

，且

，求a和c的值．

考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．

分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．

（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a+b=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，

可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此

．（6分）

，可得accosB=2，

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（II）解：由

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，

由b=a+c﹣2accosB，

可得a+c=12，

所以（a﹣c）=0，即a=c，所以．（13分）

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力． 17．（12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人） 100 173 y 男生（人） x 177 z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．

考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：计算题．

分析：（I）根据从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15，列出关于x的式子，解方程即可．

（II）做出肥胖学生的人数，设出在肥胖学生中抽取的人数，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，列出等式，解出所设的未知数．

（III）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，列举出所有事件数，再同理做出满足条件的事件数，得到结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，

，

∴x=150（人）；

（Ⅱ）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）．设应在肥胖学生中抽取m人，则

，

∴m=20（人）

即应在肥胖学生中抽20名．

（Ⅲ）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，满足条件的（y，z）有（193， 207），（194，206），„，，共有15组．设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的（y，z）有（193，207），（194，206），„，，共有8组， ∴

．

即肥胖学生中女生少于男生的概率为

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点评：本题考查分层抽样的方法．考查等可能事件的概率，考查分层抽样的应用，本题是一个比较简单的综合题目． 18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED⊥平面SAB；

（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．

分析：（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；（2）作AF⊥BE，垂足为F，可得∠AEF是直线SA与平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD ∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面SAD， ∵DE⊂平面SAD

∴DE⊥AB．„（3分）

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA， ∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．„（6分）

（2）解：

作AF⊥BE，垂足为F．由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．„（8分）

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 设AD=2a，则AB=

a，SA=2

=a，AE=

a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF=，∴∠AEF=45°

故直线SA与平面BED所成角的大小45°．„（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确得出线面角，属于中档题．

19．（13分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

（n∈N）．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an•bn，求证：cn+1＜cn （3）求数列{cn}的前n项和Tn．

考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．

分析：（1）根据等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，确定数列{an}的公差，可得数列的通项；再写一式，两式相减，可得}，{bn}的通项公式；（2）利用作差法，即可证得结论；

（3）利用错位相减法，可求数列{cn}的前n项和Tn．

解答：（1）解：∵等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根， ∴a3=5，a5=9，∴∴an=a5+2（n﹣5）=2n﹣1 ∵Sn=

，∴n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=

，∴

∵n=1时，b1=S1=，∴b1=

∴bn=•=；

（2）证明：由（1）知cn=an•bn=

∴cn+1﹣cn=∴cn+1＜cn （3）解：Tn=+

﹣=≤0

+„+

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∴Tn=+„++

两式相减可得：Tn=++„+﹣=

∴Tn=．

点评：本题考查数列的通项公式与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．（13分）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

，又椭圆上任一点到

两焦点的距离和为2．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；

（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆上任一点到两焦点的距离和为2，求出a，b，c即可求椭圆的方程；

（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．

解答：解：（1）因为离心率为又2a=2． ∴a=，c=1． ∴b=1，故椭圆的方程为：

．

，

（2）①若l与x轴重合时，显然M与原点重合，即m=0符合条件， ②若直线l的斜率k≠0，则可设l：y=k（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：由

得x+2k（x﹣2x+1）﹣2=0，

222

化简得：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0；即x1+x2=

，即PQ的中点横坐标为：

，代入l：y=k（x﹣1）可得：

PQ的中点为N（），

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由于|MP|=|MQ|，得到m=

所以：m==，

综合（1）（2）得到：m．

点评：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键．

21．（13分）函数f（x）=ax﹣﹣2lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞

，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m﹣n，求S取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，注意定义域；（Ⅱ）设f′（x）=0的两根为x1，x2（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），S=m﹣n=2（ax1﹣

﹣2lnx1），将a=即可得到S的范围．

，代入化简，构造函数g（x）=﹣lnx，求导数，应用单调性，

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a+﹣=（x＞0），

a=时，f′（x）=，

f′（x）＞0，得x＞2或0＜x＜2﹣；f′（x）＜0，得2﹣＜x＜2+．则f（x）的单调增区间为（0，2﹣），（2+，+∞），单调减区间为（2﹣，2+（Ⅱ）由△＞0得4﹣4a＞0，即﹣1＜a＜1且

）．

＜a＜1，得＜a＜1，

此时设f′（x）=0的两根为x1，x2（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由

＜a＜1，且ax1﹣2x1+a=0，得＜x1＜1，

﹣2lnx1﹣（ax2﹣

﹣2lnx2）=ax1﹣

﹣2lnx1﹣（

﹣ax1+2lnx1）

所以S=m﹣n=ax1﹣

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﹣2lnx1）

由ax1﹣2x1+a=0得a=

，代入上式得，

S=4（﹣lnx1）=4（﹣lnx1）

令x1=t，所以

＜t＜1，g（x）=﹣lnx，则S=4g（t），

g′（t）=即0＜g（t）＜

＜0，所以g（x）在上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（，所以0＜S＜

．

），

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构

造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．

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湖南省株洲市醴陵二中2015届高三数学上学期第九次月考试卷 文(含解析)

湖南省株洲市醴陵二中2015届高三数学上学期第九次月考试卷文(含解析)