总第２３１期 竹敏０ ｆ‘ Ｔｏｔａ１．２３ １ ２０１３年１月ｉｆ） Ｔｈｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ａｒｔｉｃｌｅ Ｃｏｌｌｅｃｔｓ Ｊａｎｕａｒｙ ２０１３（Ｃ） 平均值不等式及其在求解条件最值中的应用 金小武 （吉安市吉安一中 江西・吉安３４３０００） 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—７８９４（２０１ ３）０３—０１ ６１—０２ 摘要本文介绍了著名的平均值不等式及其在求解一类 多元函数的条件最值中的应用。 为口 为ｆ唯一的极值点，且为极小值点，故便为ｆ的最小值 关键词 平均值不等式条件最值 点，即ｆ在ａｏ 处取最小值Ａｖｅｒａｇｅ Ｖａｌｕｅ ｌｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓａｌｕｔｉｎｇ ： Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ｅｘｔｒｅｍｅ Ｖａｌｕｅ／／Ｊｉｎ Ｘｉａｏｗｕ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ Ｐａｎｅｒ ｅｘｐｌｏｒｅｓ ｔｈｅ ｆａｍｏｕｓ ａｖｅｒａｇｅ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉ— ａ２－．．ａｋｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｅｘｔｒｅｍｅ 【 一 ｊ＞０ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｏｎｅ ｃｌａｓｓ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． （由②假设知）。 Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ａｖｅｒａｇｅ ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｅｘｔｒｅｍｅ ｖａｌｕｅ 从而有厂（ ＋ ）≥厂（口 ） ０，即 对于多元函数ｆ（ｘ ，…，‰）在约束条件Ｃ（ｘ ， …， ‰）下的最大（小）值，著作【１＿、［２１都介绍了用拉格朗日乘数法，先 求条件极值，再具体判断该条件极值是否为所求条件最值， （ｌ ｋ三＋ １ Ｊ） 口 口 ‘… … 。。等号成立当且寺号厩 且 而具体在判断的时候，… 普遍采用“由实际问题本身知最大 仅当 （小）值存在，故求出的唯一的极值便为所求的最大（／ｂ）值” 的说法，这样的说明往往缺乏说服力。在求解一类特殊的多 元函数的条件最值时利用平均值不等式不仅可以说明最大 ，（ａ ）＝ ｌａ２＂．．ａｋ［！Ｌ 一 ｊ ｏ， （小）值存在，且能求出何时达到最大（／ｂ）值。 即 ＝ ，而 平均值不等式 设 ＞０，１，２…ｎ，ｎ∈ ，则有 ＝ ＿ Ｖ—ａＩ＂ａ２—．，＇ａｎ 成立当且仅当 ＝ ２一 一 （由②假设知），此时有 ｒ岛＋ ＋．＋＋＋ｑ．、” （或ｑ’ａ２…‘ 【—— Ｊ） ＝（ ＋１）｛ 一（ ＋ ＋．．．＋ｄ ） 等号成立，当且仅当ａ．＝ａ２：…－－ａ。ｎ ａ１ 口２一’一 证：用数学归纳法证明。 ，即等号成立当且仅当 口２ … 口七 ＋１。 ①当ｎ＝２时，由（ ０１一、／ ） ≥ｏ，且等号成立 综合上述可得，Ｖ ＞Ｏ，ｉ＝１，２…月， ∈Ｎ 有平均值不等 ＝ 知： ≤ ，等号成立 ＝ 。即ｎ＝２ 式 时平均值不等式成立。 ②假设当ｎ＝ｋ时，平均值不等式成立，即有 月 （、 或 Ｖ ≤ ，等号成立骨。。＝ ＝…： 。 ａＩ 一 ｆ ｎ ／１ ）．、 ③往证当ｎ＝ｋ￣ｌ时平均值不等式成立，即有 等号成立，当且仅当ｎｔ ａｚ一。ａ 。 ≤ ，等号成立兮ｎ。 下面通过几个例子来说明平均值不等式在求解多元函 数条件最值中的应用。 。ｉ 一 ＋１。 设 十１）：【 ］ ． ＋Ｉ∈（一 ， 例１求函数厂 Ｙ，ｚ） ８ｘｙｚ在约束条件 Ｘ ＋ ＋ｚ‘＝ｌ下的最大值。（ｘ，ｙ，ｚ＞０） ＋ｏ。），则有 解：由于ｘ，ｙ，ｚ＞Ｏ，故 ‰）＝［ 卜 。。。，令 ）：０， 可得 ； ａ ｏ ＝（ ＋１） ｄ１ … 一（口Ｉ＋ａ２＋一斗 ）又由于， 等号成立，当且仅当 ＝Ｙ ＝ｚ，又 ＋ ＋２ ＝１，故 ，１ １ ｈＤ１）＝两ｋ（ ｆ～ 。故ｆ在口ｏ 取极小值，又因 ｘ＝ｙ 。即当ｘ＝ｙ 时函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝８ｘｙｚ￣￣ 作者简介：金小武（１９８０一），男，江西吉安人，大学本科学历，吉安市吉安一中中级教师，主要从事中学数学教育。 １６１ 基础教育 ８ ｌ ｆ 值３ 。 ！：！： ｌ ｍ． ＋ｎ． Ｐ． ： （ｒａ＋”＋ ） ｌ 例２求函数ｆ（ｘ， ）＝５ｘ Ｙ在约束条件ｘ＋２ｙ＝１５０下的 最大值。ｘ，ｙ＞０） 解：舳 ＝５ｘ２ｙ＝５Ｘ＂Ｘ，ｙ＝５ｘ＝７（ ＋ 斛肘Ｐ、 ．ｘ．４ｙ＜三（ ） 珂＋ｐ）（ｘ＋ ＋ｚ ｐ： ：三ｆ １ ：１．２５ ｌ０ ：！： … （，打＋ ＋ｐ） ‘ｔ ４ ３／ 等号成立当且仅当 等号成立，当且仅当ｘ＝ｘ＝４ｙ，又ｘ＋２ｙ＝１５０，故。即当 ＝１００，ｙ＝２５时函数ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ 取到最大值１．２５×１０ 。 ｍ ” ＝ ｐ ｚ ’ ＩＪ ｍ ｎ Ｄ，凡 ＪＩｚｔ：ｌ于 例３求函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝ｘｙｚ在约束条件 ｙ＋ ＋埘＝３００ Ｙ Ｚ ＋Ｙ＋ｚａ ． 下的最大值。（ｘ，ｙ，ｚ＞Ｏ） ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ，故ｍ—ｎ—Ｐ一 ＋ｎ＋ｐ—ｍ＋＂＋ｐ，从而 解：由于ｘ，ｙ，ｚ＞Ｏ，故 ——＝ ）＝ ｏｏ。 ｍ ｎ ｍ＋ｎ＋ｐ，， ｙ＝ 百 ＋ ＋ ＇， ｚ： ｍ＋ｎ＋ｐ， 即当 Ｂｐ （ ，Ｙ，ｚ）＝ｘｙｚ，又 ｙ＋ ＋ ＝３００，故 ｍ ＋ ＋口，ｎ ｙ 等号成立当且仅当，’，ｍ ｎ Ｐ，＋ ＋ ， ｍ ｎ １＋ ＋ ９时，函数 口 ， 幽姒 ｘ＝ｙ＝ｚ＝ｌＯ。即当ｘ＝ｙ＝ｚ＝ｌＯ时函数取到最大值１０００。 例４求函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）：ｘｍｙ”ｚ 在约束条件ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ下 ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｍｙｎｚｐ取到最大值 器口 。 的最大值。（ｒｆｌ，ｎ，Ｐ，Ｘ．Ｙ，ｚ＞Ｏ） 参考文献 解：ｆ（ｘ，ｙ，ｚ ａｒ＋ｒｉ童裕孙，朱弘鑫．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９． ｍ＋Ｐ ．（ ［１张荫南，１］【２】邓东皋，尹小玲擞学分析简明教程（下）【Ｍ Ｅ京：高等教育出版社， （ｍ了＋ｎ＋ｐ ｚ ．…ｍｍｎｎｐ 而ｐ ￣蓄１９９ ９．周１９９ ８胡黼数学分析的思想方 山大学 ．（上接第１５９页） 教师同一、二号完成板书； 的竞争，为学生的学习提供“方法”和“条件”。展示活动本 ３）预习课堂中教师与学生一起面向所有板书的内容， 身，为学生的学习提供了“行为”的支持，使学生能够通过展 组织学生分析和区分其中哪些为学生可以自己解答的部 示，向同学和老师展现自己的成功，从而增强其自我效能 分，由学生进行讲解，教师点评及补充；哪些为学生无法讲 感； 解的部分，由教师集中讲解。此处要求教师对学生讲解进行 （３）课堂生成，避免徒劳与泯灭。课堂生成不是师 必要的评价，而自己的讲解应言简意赅，能不讲的坚决不 生在课堂上信马由缰式地展开活动，教师首先要有牢固的 讲； 目标意识，如果课堂的生成偏离了教学目标，要迅速地把学 ４）展示课堂中教师根据学生提出的问题展开教学。要 生的思维引向教学目标。同时也应该认识到：预设的目标并 求学生依据任务，分小组板书到黑板上。通过小组学习、讨 不是不可调整的唯一行为方向，也不是检验展示行为的唯 论等，准备解答板书上提出的问题，并进行小组合作下的多 一标准，可以合理地删补、升降预设目标，从而即时生成目 种形式的自主讲解。教师对小组的讲解作少量补充和即时 标，让目标随着生成而产生超越预设的效果； 评价； （４）设计好反馈课，是优化“自主学习模式”的手段之一， ５）反馈课堂中，学生完全处于主体地位，自主处理反馈 也是当务之急。在以往一贯的教学实践中，我们往往重视提 问题，并能即时地合作互助。此时要求重点学生完成， 高教师的教学水平，认为如果教师能够在课堂上讲得天花乱 教师只提供重点知识引导，可作部分评价和指导。 坠，才能够让学生佩服得五体投地，进而也就以为学生的学 第三，要想在教学中更好地培养学生的自主学习能力， 习有了效果。殊不知，教学的任务是要调动学生的内驱力，提 就是要确立一种有利于学生自主学习的科学理念，凸现学 高学生学习的积极性，才能够做到事半功倍，提高学习效果。 生的自主学习过程，淡化教师的主体意识，强化学生的自觉 我们应把时间留给学生，加大反馈课堂练习的力度，缩短教 参与，最终由学生的“学”来决定教师的“教”。 师的讲授活动时间，通过各种形式的练习，集中学生的注意 （１）众所周知，传统的以教师为中心的讲授式教学是不 力，通过及时反馈，加深印象，查漏补缺。 利于学生自主学习的。在这种教学模式下，学生的“学”要围 选择一种教学方式，就是选择一种理念，而理念应该是 绕着教师的“教”进行，无论是学生通过自学能够掌握的内 真实的需求。只有将自主学习定位于提高学生学习的“自主 容，还是需要教师重点讲解的内容，学生自主学习的机会很 性”，才能从其出发点和最终意义上具有其先进价值。 少。因此，改变是必须的。而按照教材重组、任务分配、自学 引导、提出问题、小组合作、师生交流、展示生成、反馈补救 参考文献 的流程，学生是能够有效进行自主学习的； 【１］（美）Ｅｌｌｅｎ Ｗｅｂｅｒ．有效的学生评价［Ｊ】．国家基础教育课程改革“促 （２）“自主学习”模式教学的成败在学生是否坚持完成 进教师发展与学生成长的评价研究”项目组，译．文教资料，２００４ 课前有效预习，利用小组的评价机制，培养学生完成学习任 『４１． 务预习的“动机”形成，在实质上和心理上都为课堂的学习 ［２］李克东．教育技术学【Ｍ］ Ｅ京：北京师范大学出版社． ［３】庞维国．自主学习——学与教的原理和策略［Ｊ］． 作好准备。展示课堂中，利用学生小组内的合作与小组之间 【４】何克抗．教育技术学研究方法【Ｍ］ Ｅ京：北京师范大学出版社． １６２
