等腰三角形的判定定理及推论：180A 2定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 二.等边三角形 1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
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三.线段垂直平分线 1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 名师点睛☆典例分类 考点典例一、等腰三角形的性质
【例1】（2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，则ACB的度数为 ．
【答案】113°或92°． 【解析】
考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 【举一反三】
（2017浙江台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
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A. AE=EC B. AE=BE C. ∠EBC=∠BAC D. ∠EBC=∠ABE 【答案】C
【解析】试题分析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C． 考点：等腰三角形的性质．
考点典例二、等腰三角形的多解问题
【例2】（2017黑龙江绥化第20题）在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若AD的顶角的度数为 ． 【答案】30°或150°或90°． 【解析】
试题分析：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=
1BC，则ABC21BC，∴∠ACD=30°， 2如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
11BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°， 22
考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．
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【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【举一反三】
（湖南省衡阳市船山实验中学2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ）
A. 35° B. 20° C. 35°或20° D. 无法确定 【答案】C
【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°， 70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C. 考点典例三、等边三角形的性质与判定
【例3】（2017河池第12题）已知等边ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G.当G与D重合时，AD的长是（） A．3 B．4 C. 8 D．9 【答案】B. 【解析】
试题分析：设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．
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【举一反三】
（重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期第二次六校联考）如图所示，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则对下面四个结论判断正确的是（ ）
①点P在∠BAC的平分线上， ②AS=AR， ③QP∥AR， ④△BRP≌△QSP. A. 全部正确; B. 仅①和②正确; C. 仅②③正确; D. 仅①和③正确 【答案】A
【解析】试题解析：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S. ∴∠ARP=∠ASP=90°. ∵PR=PS，AP=AP. ∴Rt△ARP≌Rt△ASP.
∴AR=AS，故（2）正确，∠BAP=∠CAP.
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确. ∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点. ∵AQ=PQ.
∴点Q是AC的中点. ∴PQ是边AB对的中位线. ∴PQ∥AB，故（3）正确.
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP. ∴△BRP≌△QSP，故（4）正确. ∴全部正确．. 故选A．
考点典例四、线段垂直平分线的性质运用
【例3】（山东省昌乐县第三中学2017-2018学年八年级上期末模拟）已知如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）
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A. 24cm和12cm B. 16cm和22cm C. 20cm和16cm D. 22cm和16cm 【答案】D
考点：线段的垂直平分线的性质.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 【举一反三】
（广西钦州市钦北区2016-2017学年第二学期期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于
AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，
则DE等于（ ）
A. 2 B. 【答案】C
C. D.
【解析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可.
解：在RtABC中，由勾股定理得：BC=连接AE，
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=4,
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从作法可知：DE是AB的垂直评分线， 根据性质AE=BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC+CE=AE， 即3+（4-AE）=AE， 解得：AE=
，
AB=
，由勾股定理得：DE+(
)=(
)，
在Rt△ADE中，AD=解得：DE=故选C.
课时作业☆能力提升 一、选择题
.
1. （2017海南第13题）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B.
考点：等腰三角形的性质.
2. （2017黑龙江大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC推荐下载
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中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A. 30° B. 15° C. 45° D. 25° 【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．
3. （2017湖北武汉第10题）如图，在RtABC中，C90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7 【答案】C 【解析】
试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
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故选C.
考点：画等腰三角形.
4. （河北省故城县运河中学2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A.
B.
C.
D. 3
【答案】C
【解析】如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，
根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD=
=
，
代入面积计算公式，解答出S△ABC=故选：C．
×2×=；
5. （2017-2018学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在
于点
，
为
边的中点，连接
、
，则下列结论:①
中， ;②
于点，
为等边三角形.
下面判断正确是( )
A. ①正确 B. ②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
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【答案】C
【解析】试题解析：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM=
BC，PN=
BC，
∴PM=PN，正确；
②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确； 所以①②都正确． 故选C．
6．在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（32，32），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解析】
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考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
7.（浙江省上杭县西南片区2017-2018学年八年级上册期末模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形 【答案】D
【解析】试题解析：∵∠B=∠C， ∴AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在△ABD和△ACD中
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∴△ABD≌△ACD， 即选项A、B、C都正确，
根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系， 即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误， 故选D． 二、填空题
8. （广东省广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为__．
【答案】
,
,
【解析】试题分析：△ABC和△AED均为等边三角形，∴
,
∴
~∆ACD,又
,∴
，所以BF=
故答案为
,∴
∴
，
,∴ 即
,∴,∴
9. （山西省汾西县双语学校2017-2018学年八年级上期末模拟）已知：点P、Q是△ABC的边BC上的两个点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，∠BAC的度数是（ ）
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 【答案】B
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10. （浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC，其中AB=AC=17cm，BC=16cm，则三角形的面积为________cm ． 【答案】120
【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高
2
AD==15cm，再利用三角形面积公式求S△ABC=BC•AD=×16×15=120cm ．
2
故答案为：120.
11. （浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是 _______ 【答案】50或130
【解析】首先根据题意画出图形，
一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图1，
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∵BD⊥AC，∠ABD=40°， ∴∠A=50°，
即顶角的度数为50°．
另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2， ∵BD⊥AC，∠DBA=40°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BAC=130°． 故答案为：50或130．
12. （江苏省靖江市2016-2017学年八年级上学期期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】15．
【解析】试题解析：本题可分为两种情况来讨论.第一种，当腰长为3时，等腰三角形的三边长为3、3、6，由于
，所以不能构成三角形.第二种，当腰长为6时，等腰三角形的三边长为6、6、3，由于
可以构成三角形.那么该等腰三角形的周长为
.故本题的正确答案应为15.
，所以
13. （2017建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC； ②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角； ④四边形ABCD的面积S=
1AC•BD． 2正确的是 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①④ 【解析】
试题解析：①在△ABC和△ADC中，
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ABAD∵BCCD， ACAC∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC=∠ADC， 故①结论正确； ②∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC=∠DAC， ∵AB=AD， ∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等， 故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角； 故③结论不正确； ④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=故④结论正确； 所以正确的有：①④
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
14. （2017湖北武汉第15题）如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE的长为 ．
1111BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD． 2222
【答案】7. 【解析】
试题解析：∵AB=AC，
∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，如图，
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∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC， ∵∠BAC=120°，∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°， 在△E′AD和△EAD中
AE＝AEEAD＝EAD AD＝AD∴△E′AD≌△EAD（SAS）， ∴E′D=ED，
过E′作EF⊥BD于点F， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°， ∴∠E′BF=60°， ∴∠BE′F=30°， ∴BF=
1BE′=4，E′F=43， 2∵BD=5， ∴FD=BD-BF=1，
在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=（43）+1=7， ∴DE=7．
考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．
15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC的内部，且PC6,PA8,PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到P'C，连接AP'，则sinPAP'的值为 ．
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【答案】
3 5【解析】
试题解析：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中
PCPCCA PCBPCBCA∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵6+8=10， ∴PP′+AP=P′A，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
2
2
2
2
2
2
PP63． ∴sin∠PAP′=PA105考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
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16.（2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1A1A21，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为 ．
20161008
【答案】（0，（2））或（0，2）．
【解析】
考点：
规律型：点的坐标． 三、解答题
17. （重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期第二次六校联考）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．
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（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由. （2）若M为DE上的点，且BM平分【答案】(1)
，CM平分
，若
的周长为20，BC=8.求
的周长.
是等腰三角形，理由详见解析；(2)28.
【解析】试题分析：（1）由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，根据相似三角形性质即可求得结论；.
（2）由于DE∥BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，易证BD=DM，ME=CE，根据△ADE的周长为20，BC=8，即可求出△ABC的周长．
试题解析：（1）∵DE∥BC，. ∴△ADE∽△ABC．.
∴
∵AB=AC，. ∴AD=AE．.
．.
∴△ADE是等腰三角形．.
18. （2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】
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试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形． 试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
19. （2017内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BDCE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由． 【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形. 【解析】
试题分析：（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=
11BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四22边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=
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1BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论． 2精 品 试 卷
试题解析：（1）由题意得，AB=AC， ∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=
11AC，AE=AB，∴AD=AE， 22ABAC在△ABD和△ACE中AA ，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE；
ADAE（2）四边形DEMN是正方形，
111AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC， 2221∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，
2理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，
BECD在△BDC与△CEB中，CEBD ，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，
BCCB∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=∴四边形DEMN是正方形．
1BC，∴BD⊥CE， 2
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．
20. （2017哈尔滨第24题）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N. (1)如图1，求证：AE=BD；
(2)如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
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【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE（SAS），△EMC≌△BCN（ASA），△AON≌△DOM（AAS），△AOB≌△DOE（HL） 【解析】
试题分析：（1）根据全等三角形的判定（SAS）证明△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD； （2）根据条件判断出图中的全等直角三角形即可；
（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°， ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS）， ∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．
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