江西省宜丰中学2019届高三上学期第二次月考文数试卷

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江西省宜丰中学2019届高三上学期第二次月考文数试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题

1．若集合 ， 或 ，则 A． B． C． D． 2．“ ”是“ 成立”的（ ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，真命题是（ ） A． B．

C． 的充要条件是

D． 是 的充分条件

4．设 ，若

，则 （ ） A．-2 B．-5 C．-7 D．4

5．若

，则 的值为（ ） A．

B． C．

D．

6．在 上定义运算 ： ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为 ( )

A． B．

C． D．

7．等差数列 中的 分别是函数 ＋ 的两个不同极值点，则 为（ ）

试卷第1页，总4页

………线…………○…………

A． B．2 C．-2 D．-

8．已知实数 满足 ，若 的最大值为16，则实数 等于

A．2 B． C．－2 D．

9．将函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）

………线…………○………… A．奇函数 B．周期是 C．关于直线

对称 D．关于点

对称

10．关于不同的直线 与不同的平面 ，有下列四个命题：

① ， ，且 ，则 ② ， ，且 ，则 ③ ， ，且 ，则 ④ ， ，且 ，则 其中正确的命题的序号是（ ）

A．① ② B．②③ C．①③ D．③④

11．若等边 的边长为3， 为 的中点，且 上一点 满足：

，则当

取得最小值时， （ ）

A． B．6 C． D．

12．若存在 使得不等式

成立，则实数 的取值范围为（ ）

A．

．

D．

B C．

试卷第2页，总4页

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．已知 为钝角，且 ,则 _________.

14．若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_______． 15．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是

32π，……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………3那么这个三棱柱的体积是________．

16．已知函数

若函数 只有一个零点，则函数

的最小值是______.

评卷人 得分 三、解答题

17． 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 . （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若 ,且 的面积为

,求 的值.

18．如图所示，如果一个几何体的正视图与侧视图是全等的长方形，且边长分别是4与2，俯视图是一个边长为4的正方形

（Ⅰ）求该几何体的表面积； （Ⅱ）求该几何体的外接球的体积

19．

，设

（Ⅰ）求函数

的周期及单调增区间。 试卷第3页，总4页

………线…………○…………

（Ⅱ）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，求边 的值．

20．已知点（1，2）是函数 的图象上一点，数列 的前 项和是 .

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ，求数列 的前n项和 21．直三棱柱 中， 是 的中点.

………线…………○…………

（1）证明： 平面 ；

（2）若 ， ，求点 到平面 的距离. 22．已知函数 ．

（1）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的最大值；

（2）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围．

试卷第4页，总4页

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

参

1．C 【解析】

， 或 , . 故选C. 2．A 【解析】

则 或 ，

“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件. 故选A 3．D 【解析】

A：根据指数函数的性质可知 ＞ 恒成立，所以A错误． B：当 时， ＝ ＜ ＝ ，所以B错误．

C：若 时，满足 ，但 ， 不成立，所以C错误．

D： ＞ ， ＞ ， 则 ＞ ，由充分必要条件的定义， ＞ ， ＞ ，，是 ＞ 的充分条件，则D正确． 故选D． 4．C 【解析】

令

为奇函数

又

答案第1页，总11页

故选 5．D 【解析】 【分析】

由题意，化简整理得

，又由三角函数的基本关系式，求得 的值，再利

用两角和的正弦函数的公式，即可化简求解，得到答案。 【详解】

由题意，可知

，即

，

整理得 ，∵ ，∴ ，

又由 ，解得 ，

， D.

∴

，故选

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正弦函数的公式，合理、准确运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 6．B 【解析】 【分析】

根据题设新定义的运算，把 可转化为 恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案。 【详解】

根据题设新定义的运算，可得 ， 所以 可转化为 ， 即 恒成立，

根据二次函数的性质可知 ， 解得 ，故选B。 【点睛】

答案第2页，总11页

本题主要考查了函数新定义的运算，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据新定义，把把 可转化为 恒成立，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力。 7．D 【解析】

是函数 的极值点， 是方程 的两个实数根，则 ，而 为等

差数列， ，即 ，从而 ，故选

D.

8．A 【解析】

如图，作出不等式组所表示的可行域（ 及其内部区域），目标函数 对应直线 ，其斜率 .

当 ，即 ， 时，目标函数在点 处取得最大值，由 ，解

得 ，故 的最大值为 ，解得 ；②当 ，即 ， 时， 目标函数在点 处取得最大值；由 ，解得 ，故 的最大值为 ，

显然不合题意，综上， ，故选A．

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

答案第3页，总11页

9．D 【解析】

函数 的图象向左平移 个单位，得到函数

的图象，可得函数 是偶函数且周期为 ，所以选

项A、B错误，又 ，所以选项D正确，故选D.

10．C 【解析】

对于①，根据异面直线所成角的概念， 可按相交垂直分析，又 ， ，可知 与 所成二面角的平面角为直角，故正确；

对于②， ，且 ， ， 与 的位置关系可能平行，也可能相交．故错； 对于③，若 ， 且 ，则 ，故③正确；

对于④， ， 且 ，则 与 的位置关系不定，故④错． 故选C． 11．C 【解析】

分析：可画出图形，并由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+y=1，从而得到 =

，由

基本不等式便可得出 的最小值，以及对应的x，y值，从而用 ， 表示出 ，而 ，这样根据 ABC为等边三角形即可进行向量数量积的运算，从而求出

的值．

详解：如图，可知，x＞0，y＞0；

∵M，A，B三点共线，且 ； ∴x+y=1；

∴ =

答案第4页，总11页

≥10+ ，当此时x=， ；

，即3y=x时取“=”，即 取最小值；

∵N是AB的中点；

∴

=

=

=．

故选：C．

点睛：考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件： ，且x+y=1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式． 12．B 【解析】

依题意， 在 上有解，令 ， 故

，

令 ，故当 时， ，

故 ，故 ，即 故实数 的取值范围是

，

，故选B.

点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化，根据不等式有解求参数取值范围，通常采用分离参数法，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，从而求出 的范围着重考查了转化与化归思想的应用，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力.

13．

【解析】

试题分析：

答案第5页，总11页

，

．

考点：二倍角公式。 14． 【解析】

∵ ，∴

，

又不等式 ∴

恒成立

故答案为：

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15．483 【解析】因为球的体积为32π，柱体的高为2r＝4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径3与球半径相等，r＝2，所以底面边长a＝43，所以V柱＝16． 【解析】

32

×(43)×4＝483. 4 , 是奇函数, 又 ,则

函数 在 上单调递增,由题意可得

只有一个方程根, 根据函数单调得 , 只有一个方程根,即 与 只有一个交点,所以 ,函数 当且仅当 取等号,故应填 .

点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性,以及函数与方程的思想和基本不等式的应用. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)

答案第6页，总11页

的条件才能应用，否则会出现错误. 17．（Ⅰ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据的三角函数值即可求出角积，由形，将

求出

的值，利用特殊角

的面

；（Ⅱ）

.

的度数；（Ⅱ）由三角形面积计算公式表示出三角形

与已知的面积求出的值代入，即可求出

的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变的值.

,

为三角形的内角,

试题解析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得:

,

则

；

,即

,又

（Ⅱ）,,

,

由余弦定理得:即

,则

,

,

.

考点：（1）正弦定理和余弦定理；（2）三角形面积计算公式. 18．（1）. （2） . 【解析】 【分析】

三视图复原的几何体是底面是正方形的正四棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积，求出对角线的长，就是外接球的直径，然后求它的体积即可． 【详解】

（Ⅰ）由题意可知，该几何体是长方体，底面是边长为4的正方形，高是2，因此该几何体的表

答案第7页，总11页

面积是： ，即几何体的表面积是.

（Ⅱ）由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为 ，球的半径是 ， ，所以球的半径 .

因此球的体积 ，所以外接球的体积是 .

【点睛】

空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，

PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

19．单调递增区间是[2k 【解析】

此题考查了正弦、余弦定理，三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换应用，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键。 （1）（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用两角和与差的直正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的单调递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间； （2）由

]，周期T=2

；（Ⅱ）

， 得

由 得 .又 结合余弦定理得到结论。

=

=

x+

……即2k

……

所以…函数的单调递增区间是[2k

]，

答案第8页，总11页

周期T=26分

（Ⅱ）由 ， 得

由 得 .又

由 得 ，

…………………………12

n－1

n

分

20．（1）an＝2【解析】 【分析】

；（2）Tn＝(n－1)2＋1.

（1）由点（1,2）在 图像上求出 ，再利用 法求出 。 （2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定。 【详解】

(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝a得a＝2， 所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2－1. 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2∴an＝2

n－1

nn－1

nx＝2

n－1

，对n＝1时也适合，

.

(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n， 所以anbn＝n·2

n－1

.

Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①

2Tn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋(n－1)·2由①－②得：－Tn＝2＋2＋2＋…＋2所以Tn＝(n－1)2＋1. 【点睛】

（1）主要考查了 法求通项公式，即

（2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，

n0

1

2

1

2

3

n－1

＋n·2.②

nnn－1

－n·2，

答案第9页，总11页

应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 21．（1）证明见解析；（2） . 【解析】

试题分析：（1）连接 ，设 与 的交点为 ，则 为 的中点，连接 ，又 是 的中点，由三角形中位线定理可得 ，从而根据线面平行的判定定理可得 平面 ；（2）设点 到平面 的距离为 ，因为 的中点 在平面 上，故 到平面 的距离也为 ，三棱锥 的体积 ，由

得结果.

，

的面积

试题解析：（1）连接 ，设 与 的交点为 ，则 为 的中点，连接 ，又 是 的中点，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .

（2）由 ， 是 的中点，所以 ， 在直三棱柱中， ， ，所以 ， 又 ，所以 ， ，所以 . 设点 到平面 的距离为 ，因为 的中点 在平面 上， 故 到平面 的距离也为 ，三棱锥 的体积

，

的面积 ，则 故点 到平面 的距离为. 22．（1） ；（2） . 【解析】

，得

，

试题分析：（1）由曲线 在 处的切线与 轴垂直，可得 ， ，再求出 的导函数 可得 在 上单调递减，所以 ；（2） ，等价于函数

答案第10页，总11页

在 上单调递减，即 在 上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出 ）的最大值即可的结果. 试题解析：（1）由 ，得 ， ，

令 ，则 ，可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ．

（2）由题可知函数 在 上单调递减，

从而 在 上恒成立， 令 ，则 ，

当 时， ，所以函数 在 上单调递减，则

；

当 时，令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，即 ，

通过求函数 的导数可知它在 上单调递增，故 ．

综上， ，即 的取值范围是 ．

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点参数，即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用

求解.

答案第11页，总11页