椭圆中两个最大张角

椭圆中的两个最大张角

在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角,它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便,现归纳如下:

一．两个重要结论

x2y2命题１．如图:已知F1,F2为椭圆221(ab0)

ab的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端点时, Y P0 P F1 F1PF2最大。

分析：F1PF2(0,)，而ycosx在(0,)为减函数， 只要求ycosx的最小值，又知|PF1||PF2|2a,|F1F2|2c, 利用余弦定理可得。

证明:如图，由已知:|PF1||PF2|2a,|F1F2|2c， 所以|PF1||PF2|(O F2 X |PF1||PF2|2)a2,（当|PF1||PF2|时取等号）

2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2由余弦定理得:cosF1PF2

2|PF1||PF2|(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2||F1F2|2 2|PF1||PF2|4a24c24b22b21121(当|PF1||PF2|时取等号), 2|PF1PF2|2|PF1||PF2|a所以当|PF1||PF2|时，cosF1PF2的值最小，因为F1PF2(0,),所以此时F1PF2最大。即点P为椭圆短轴的端点时F1PF2最大。

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x2y2命题２．如图:已知A,B为椭圆221(ab0)长轴上的两个顶点,Q为椭圆上任意

ab一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,AQB最大。 分析:当AQB最大时，AQB一定是钝角， 而ytanx在(Y Q0 Q A O P B X 2,)上是增函数,利用点Q的坐标,

表示出tanAQB,再求tanAQB的最大值。

证明:如图，不妨设Q(x,y)(0xa,0yb)，则APax,BPax,PQy ,

所以tanAQPaxax,tanBQP， yy2atanAQPtanBQP2ayy则tanAQB, 1tanAQPtanBQPa2x2x2y2a21y2a22又xa2y，所以tanAQBb22a22a10,因为,AQB(,),所以

b22a2(12)yb当yb时，tanAQB取得最大值，此时AQB最大，所以当点Q为椭圆短轴的端点时,AQB最大。

二．两个结论的应用

利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便:

例１.已知F1,F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得F1PF260,求椭圆离心率的取值范围。

分析:因为存在F1PF260，所以只要最大角F1P0F260,即

3c31，也就是，从而求出e的范围。 F1P0F230，即tanF1P0O3b32--

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解析：由结论1知：当点P0为椭圆短轴的端点时,F1P0F2最大,因此要最大角

3c31F1P0F260,即F1P0F230,即tanF1P0O,也就是，

3b32解不等式ca2c2113，得e,故椭圆的离心率e[,1)。

223x2y21的两个焦点,P为椭圆上任意一点,已知P,F1,F2是例2.设F1,F2为椭圆94一个直角三角形的三个顶点,且|PF1||PF2|，求

|PF1|的值。 |PF2|分析：由结论１知：当点P0为椭圆短轴的端点时,F1P0F2最大,且最大角为钝角,所以本题有两种情况:P90或F290。

解析：由已知可得，当点P0为椭圆短轴的端点时，F1P0F2最大且F1P0F2为钝角，由结论1知,椭圆上存在一点P,使F1PF2为直角,又PF2F1也可为直角，所以本题有两解;由已知有|PF1||PF2|6,|F1F2|25 22222（１）若PF2F1为直角,则|PF1||PF2||F1F2|,所以|PF1|(6|PF1|)20，

得|PF1||PF1|7144; ,|PF2|，故

|PF2|23322222(2)若F1PF2为直角，则|F1F2||PF1||PF2|，所以20|PF1|(6|PF1|),

得|PF1|4,|PF22|，故

|PF1|2。 |PF2|评注：利用最大角知道，F1PF2可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论,避免了漏解的情况。

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x2y2例3．已知椭圆221(ab0),长轴两端点为A,B,如果椭圆上求这个椭圆

ab的离心率的取值范围。

分析：由结论2知：当点P0为椭圆短轴的端点时,AP0B最大,因此只要最大角不小于

120即可。

解析:由结论2知：当点P0为椭圆短轴的端点时,AP0B最大，因此只要

1AP0B120,则一定存在点Q,使AQB120,AQB60,即APO60所

2以aa2c23,得e6， 3故椭圆的离心率的取值范围是e[三．巩固练习:

6,1)。 3x2y221(b0),F1,F2是它的两个焦点,若椭圆上存在1．已知焦点在x轴上的椭圆

4b点P,使得PF1PF20,求b的取值范围。

x2y21，F1,F2是它的两个焦点,点P为其上的动点,当F1PF2为钝2.已知椭圆94角时，求点P横坐标的取值范围。

答案：

1．解:由结论1知,当点P为椭圆短轴的端点时，F1PF2最大，若此时PF1PF20,则有：bc，又a2，所以b范围为:0b2，因为椭圆越扁,这样的点一定存在，所以b的取值

2 。

2．解：由结论1知，当点P越接近短轴的端点时,F1PF2越大，所以只要求F1PF2为直角时点P的横坐标的值，因为c5，所以当F1PF2为直角时，点P在圆

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x2y25上,解方程组：

x2y21353535xx，得:,所以点横坐标的取值范围是：。 P49555x2y25--