二维随机变量及其分布题目

1．设随机变量X1,X2，且P{Xi0}P{Xi1}1（i1,2），那么下列结论正2确的是 （ ）

1 D.以上都不正确 2112设X与Y相互，X服从参数为的0—1分布，Y服从参数为的0—1分布，则方程

23A.X1X2 B.P{X1X2}1 C.P{X1X2}t22XtY0中t有相同实根的概率为

（A）

1112 （B） （C） （D） [] 32633．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

22kxy,0x2,1y4, f(x,y)

其他.0, 则k的值必为 （A）

1111 （B） （C） （D） [] 305060804．设（X，Y）的联合密度函数为

ye,0xy, f(x,y)

0,其他.则概率P(XY1)为

（A）2e12e1 （B）e1e2 （C）e1 （D）1e2 []

5．设随机变量X与Y相互，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布 B（n，p），0（A）是连续函数 （B）恰有n+1个间断点

（C）恰有1个间断点 （D）有无穷个间断点 []

ey,y0,则 6．设X与Y相互，X~U(0,2),Y的密度函数为fYy0, y0. P(XY1)为

（A）1e （B）1e

121

（C） 111e （D）12e2 [] 2二、填空题

1 (X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(,y) ， (X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x0,y)； (X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,)随机点(X,Y)落在矩形域[x1xx2,y1yy2]的概率为 2

若（X，Y）的联合密度

(2xy),x0,y0,Aef(x,y)0,其他.，

则常数A______,P(X2,Y1)____.

3 设P{X0,Y0}34，P{X0}P{Y0}，则P{max{X,Y}0} 774 设随机变量(X,Y)的概率密度为

k(6xy)f(x,y)00x2,2y4其它，则k

1 . 且区域8D(x,y)|xy3，则概率P{(X,Y)D}

5 设X1~N(0,2),X2~N(1,3),X3~N(0,6),且X1,X2,X3相互，则 P(23X12X2X38)=_________。

6 随机变量(X,Y)的分布如下，写出其边缘分布.

X Y 1 3 0 1 2 3

Pj 0 3 80 3 80 0 1 81 86 82 8 Pi 1 83 83 81 8

7设f(x,y)是X,Y的联合分布密度，fX(x)是X的边缘分布密度，则8 如果随机变量(X,Y)的联合概率分布为 2

f(x) .

Xv1.0 可编辑可修改 1 2 3 X 1 2 111 69181   3则,应满足的条件是 ；若X与Y相互，则 ， . 9 设X,Y相互，X~N(0,1),Y~N(0.1)，则(X,Y)的联合概率密度

f(x,y)，ZXY的概率密度fZ(Z) . 10、 设 ( ) 的 联 合 分 布 函 数 为

111Ax0,y0222 Fx,y则 A =_____。 1xy1x1y0 11设X服从参数为1的泊松分布，Y服从参数为2的泊松分布，而且X与Y相互，则

P(max(X,Y)0)_______. P(min(X,Y)0)_______.

12 设X与Y相互，均服从[1，3]上的均匀分布，记A(Xa),B(Ya), 且P(AB)7，则a=_______. 913 二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

(x2y2)1sinxsiny1e2(x,y), f(x,y)2 则两个边缘密度为_________.

三．解答题

1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.

2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量X1,X2如下： 3

v1.0 可编辑可修改 Xi0,第i次取出正品,1,第i次取出次品.

试分别在下面两种情况下求出（X1,X2）的联合分布律和关于X1,X2的边缘分布律：

（1） 放回抽样； （2） 不放回抽样。

ke(3x4y)x0,y03、设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)

其它0 (1)确定常数k

(2)求(X,Y)的分布函数 (3)求P{0X1,0Y2}

4设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

k(6xy),0x2,2y4, fx,y

0,其他.试求：（1）k的值；

（2）P(X2,Y3)； （3）P(X)； （4）P(XY4). 5 设随机变量(X,Y)的概率密度为

32x2xy/3f(x,y)0

0x1,0y2其它 求P{XY1}

6 设二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，求一元 二次方程t22XtY0有实根的概率，其中区域D为

D{(x,y)|0x1,0y1}

7 设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 F(x,y)A(Barctg)(Carctg)求：( 1 )

x2y3 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。 8一电子器件包含两部分，分别以X,Y记这两部分的寿命(以小时记)，设(X,Y)的分布

4

函

1e0.01xe0.01ye0.01(xy) 数为F(x,y)0x0,y0其它

(1)问X和Y是否相互 (2)并求P{X120,Y120}

9． 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如右图，试求：

（1）分别关于X、Y的边缘概率分布,并判

断X与Y的性； （2）协方差cov(X,Y)； （3）概率P{XY}；

（4）在X0的条件下Y的条件分布律； （5）随机变量ZX2Y的概率分布。

X Y 1 1 152 150 2 153 151 153 2 0 4 152 150 1 0 cxey10 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 fx,y0试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数.

11 设（X, Y）为连续型随即变量，其密度函数为：

0xy,其它.3y(x,y)Df(x,y)8其他0其中D为由yx2,y2x和y0围成的区域，试求：

（1）X,Y的边缘分布密度；（2）X,Y是否；（3）cov(X,Y)；（4）P{XY2}。

12．（设二维随机变量(X,Y)的密度函数为：

10x2y0yx1f(x,y)

其他05

（1）求(X,Y)分别关于X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)； （2）判断X与Y是否相互，并求条件密度函数fY|X(y|0.5)。 13．（本题16分）已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为：

k0x1,0yx f(x,y)其他0（1）求常数k；

（2）求边际分布密度fX(x)； （3）求条件概率密度fY|X(y|x)； （4）求P{XY1}。 P72页第2，3,4题 P75页1， 3，4和5. P79页 2，3和5. P86页 1，2,3,4,5

14 X,Y相互，其分布密度函数各自为

x11e2 fX(x)20x0x0

y13efY(y)30y0y0

求ZXY的密度函数.

四、综合应用题

.设随机变量(X,Y)的联合分布律为

4xy,0x1,0y1, f(x,y)其他.0,试求（1）边缘概率密度fX(x)，fY(y)；（2）判断X和Y的性.

6