函数对称性和周期性的一些重要结论

 序号 函数满足的条件 对称轴（中心） （1） 满足 f (x)  f (x) 的函数 y  f (x) 的图象 x  0 ，偶函数 轴 满足 f (a  x)  f (a  x) 的函数 y  f (x) 的图象 对（2） x  a 称 （或 f (x)  f (2a  x) ，或 f (x)  f (2a  x) ） （3） 满足 f (a  x)  f (b  x) 的函数 y  f (x) 的图象 x  a  b 2 4） 满足 f (a x)  f (b x) 的函数 y  f (x) 的图象 x  a  b 自（2 对称 （5） 满足 f (x)   f (x) 的函数 y  f (x) 的图象 (0, 0) ，奇函数 满足 f (a  x)   f (a  x) 的函数 y  f (x) 的图象 中（6） (a, 0) 心（或 f (x)   f (2a  x) ，或 f (x)   f (2a  x) ） 对 称 （7） 满足 f (a  x)   f (b  x) 的函数 y  f (x) 的图象 ( a  b , 0) 2 （8） 满足 f (a  x)  f (b  x)  c 的函数 y  f (x) 的图象 ( a  b 2 , c 2 ) （9） y  f (x) 与 y  f (x) 的两个函数的图象 x  0 （即 y 轴） （10） y  f (a  x) 与 y  f (b  x) 的两个函数的图象 x  b  a 2 轴（11） y  f (a x) 与 y  f (b x) 的两个函数的图象 x  b  a 对2 称 （12） y  f (x) 与 y   f (x) 的两个函数的图象 y  0（即 x 轴） 互 对（13） y  f (x) 与 y   f (x)  b 的两个函数的图象 y  b 称 2 （14） y  f (x)和 y  f 1 (x) 的两个函数的图象 y  x （15） y  f (x) 与 y   f (x) 的两个函数的图象 (0, 0) 中 心（16） y  f (x) 与 y   f (a  x) 的两个函数的图象 ( a , 0) 对2 称 （17） y  f (x) 与 y   f (a  x)  b 的两个函数的图象 ( a 2 , b 2 ) 记忆方法：自对称找中点，互对称让两式子中（ ）的值相等。

一个函数求平均，两个函数解方程。

求一相加除以二，求二相等解方程。

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序号 （1） （2） 函数式满足关系(x  R) 周期 f (x  T )  f (x) f (x  T )   f (x) f (x  T )  1 ； f (x  T )   T 2T （3） f (x) f (x) 1 2T 2T （4） （5） 函数周期性的一些结论 （6） f (x  T )  f (x  T ) f x  a   f (x  b) 或 f x  a   f (x  b) f (x  T )   f (x  T )  f (a  x)  f (a  x)  f (x)为偶函数  f (a  x)  f (a  x)  f (b  x)  f (b  x) a  b 4T （7） 2a （8） 2(b  a) （9）  f (a  x)   f (a  x) kT R 上且周期T 为的奇函数有 f ( )  0(k  Z ) ．  T  2a ．定义在  2 f (x)为奇函数  f (a  x)   f (a  x)  f (b  x)   f (b  x)  f (a  x)  f (a  x)  f (x)为奇函数  f (a  x)   f (a  x)  f (x)为偶函数  f (a  x)  f (a  x)  f (b  x)   f (b  x) 

（10） 2(b  a) （11） 4a （12） 4a （13） 关于函数的图像对称性和周期性的记忆方法：

4(b  a)

 C

A  B  常数C, x  为函数f (x)的对称

（1） f ( A) f (B) 轴． 2

 A-B  常数T  0, T 为函数f (x)的一个周期

（2） f ( A) 

 C

A  B  常数C, (,0)为函数f (x)的对称中- 心． 2  A-B  常数T   0, T =2T 为函数f (x)的一个周期

（3） f ( A) f (B)  1, A-B  常数T   0, T =2T 为函数f ( x)的一个周期

（4） f (x) 以 x  x1 , x  x2 ( x1  x2 ) 为对称轴，或以( x1 , 0), ( x2 , 0) 为对称中心，则T  2 x1  x2

为 f (x) 的一个周期．

（5）以 x  x1 , ( x2 , 0)( x1  x2 ) 为对称轴和对称中心，则T  4 x1  x2

为 f (x) 的一个周期．

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