教案(11)

闭区间套定理、魏尔斯特拉斯定理、Cauchy收敛原理 授课题目（教学章、节或主题） 授课时间 安 排 授 课 类 型 理论课□√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课程□ 其他□ （请打√） 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 理解闭区间套定理、魏尔斯特拉斯定理、Cauchy收敛原理 第 周第 节 教学器材与工具 多媒体 教学重点及难点： 重点：闭区间套定理、魏尔斯特拉斯定理、Cauchy收敛原理 难点：Cauchy收敛原理 教 学 基 本 内 容 1、闭区间套定理。 2、子列、魏尔斯特拉斯定理。 3、Cauchy收敛原理 教学过程设计： 三、闭区间套定理 定理.如果一列闭区间{[a (1) [an1n,bn]}满足 ,bn1][an,bn] , n1,2,; an)0. (2)lim(bnn则称{[an,bn]}为闭区间套. [ [ [ [ ] ] ] ] a1 a2 a3 b3 b2 b1n 定理(闭区间套定理).如果{[a,bn]}形成一个闭区间套,则存在唯一的实数[an,bn] (n1,2,),且 limanlimbn (an,bn). nn

证明:由于 1

a1a2an1anbnbn1b2b1 故{a n}单增有上界,{bn}单减有下界.从而{an}及{bn}都收敛. nn设lima,则 nnnlimbnlim[(bnan)an]lim(bnan)liman nn由于{a}增, {bn}减,故sup{an},inf{bn},从而 anbn , n1,2, 故[an,bn] , n1,2, n若还有实数[a,bn] , n1,2,,则 anbn , n1,2, 有两边夹法则,有 limanlimbn nn故满足定理条件的是唯一的. 定理.实数集R是不可列集. 证明:若R可列,则R可写为 R{x1,x2,,xn,} 先取一个闭区间[a至少一个不含 1,b1],使x1[a1,b1].把[a1,b1]三等分得三个闭区间,其中x2,记它为[a2,b2],则[a2,b2][a1,b2],且x2[a2,b2], n如此做下去,可得到一个闭区间套{[a,bn]},满足 xn[an,bn] , n1,2, 由闭区间套定理,存在唯一的实数[an,bn] , n1,2,,从而 xn , n1,2, 故R.这是一个矛盾.所以R不可列. 四、子列 定义.设{x n}是一个数列,而 2

n1n2nknk1 是一列严格增加的自然数列,则数列 {xnk}:xn1,xn2,xnk, 称为{xn}的子列. 2如:x ,x7,x8,x10,是{xn}的一个子列. 注:若{xnk}是{xn}的子列,则 nkk , k1,2,3, 定理.若{xn}收敛于a,则它的任何子列{xnk}也收敛于a,即 limxnalimxnka nk 证明:由limnxna,可知0 , N ,使nN时,有 xna 取KN,则kK时,有nkkN,因而有 xnka , kK 故lim kxnka. 有两个子列{x(1)}与{x(2)}分别收敛于不同的极限,则{x}发散. }nnnknk推论.若{x例.证明{sinn2}发散. 1)}和{sin2k}.因为 222limsin(4k1)lim(1)1 , limsin2klim00 kk2k2k2}发散. 证明:取{sinn}的两个子列{sin(4k故{sinn 例.证明{(1)n}发散. 3

证明:取{(1)n}的两个子列{x2k1}{(1)2k1}和 limx2k11 k{x2k}{(1)2k}.因 , limx2k1 k故{(1)n}发散. 五、魏尔斯特拉斯定理 定理(weierstrass定理).有界数列必有收敛子列. 证明:用闭区间套定理可证. 定理.若{xn}是无界数列,则存在子列{xnk},使 limxnk k 证明:令M 11,存在xn1,使xn11; 2令M令M2,存在xn2(不同于xn1),使xn22; 33,存在xn3(不同于xn1,xn2),使xn33; n如此下去得到{x}的一个子列{xnk},显然 limxnk k六、柯西收敛原理 定义.若{xn}满足:对比0,存在N,使n,mN时,有 xnxm 则称{x n}是一个基本数列(或Cauchy数列) n例.设x11,求证{x}是基本数列. 122n2n 证明:对任何n,m,不妨设mn,则 111 xmxnxmxn222(n1)(n2)m111 n(n1)(n1)(n2)(m1)m 4

111111111 ()()()nn1n1n2m1mnmn对 0,取N[],当n,mN时,有xmxn. 1定理(Cauchy收敛原理).数列{xn}收敛的充要条件是:{xn}是基本列. 证明:利用weierstrass定理可证. 教学方法及手段（请打√）：讲授□√、讨论□、多媒体讲解□√、模型、实物讲 解□、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 作业: 复习理解(Cauchy收敛原理 参考资料（含参考书、文献等）： 课后小结： 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。

5