二元一次方程组

§5.1谁的包裹多

【教学目标】

1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某 个二元一次方程组的解。

2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。

3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型， 培养学生良好的数学应用意识。 【重点】二元一次方程组的含义

【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。 【教学过程】 一、

引入、实物投影

1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？ 2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）

这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)

师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1） 师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：这个定义有两个地方要注意 ①、含有两个未知数， ②、含未知数的次数是一次

练习：（投影）下列方程有哪些是二元一次方程

1y2

+2y=1 xy+x=1 3x-=5 x-2=3x x2xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0

1

二、 议一议、

师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？

（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同。） 师：由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成 x-y=2 x+1=2(y-1)

像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 如： 2x+3y=3 5x+3y=8

x-3y=0 x+y=8

三、

做一做、

1、 x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合

x+y=8方程吗？

2、 X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？

3、 你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？各小组合作完成，各同

学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论. 由学生回答上面3个问题，老师作出结论

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解 x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作 x=6 同样， x=5 y=2 y=3 也是方程x+y=8的一个解，同时 x=5 又是方程5x+3y=34的一个解，

y=3

二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 四、 五、

随堂练习 小结：

1、 含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。 2、 二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。

3、 含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的

解是两个方程的公共解，是一组确定的值。

6.作业习题5.1。

2

§ 5.2 解二元一次方程组（一）

【教学目标】

1.会用代入消元法解二元一次方程组

2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归 思想,从而“变陌生为熟悉”

3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想 【重点】用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元.

【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉. 【教学过程】 一、 引入

上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组 x-y=2 ① 到底谁的包裹多呢? x+1=2(y-1) ② 这就需要解这个二元一次方程组.

二、 一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?

我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：

由①得y=x-2

由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样就得到大家会解的一元一次方程了. 三、 做一做

我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做 例1、 解方程组 3x+ 2y=8 ①

x=

y3 ② 2 解：将②代入①,得3(y+3)+2y = 14

3y+9+2y=14 5y =5 y=1

将y=1代入②,得x=4

所以原方程组的解是 x=4 y=1

例2、解方程组 2x+3y=16 ①

x+4y=13 ②

教师先分析：此题不同于例1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢? 请同学回答

(应先对②式进行恒等变化,把它化为例1中②式那样的形式.) 分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演 解：由②，得 x=13-4y 将③代入①，得2(13-4)S+3y=16 26-8y+3y=16 -5y=-10

3

y=2 将代入③，得 x=5

所以原方程组的解是 x=5

y=2

四、 议一议、

上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式。③解这个一元一次方程。④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。 五、 练一练、

1、已知x+3y-6=0，用含x的代数式表示y为 ，用含y的代数式表示x 为

. 2、随堂练习 六、 小结、

1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？ 2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元 3、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、

4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=？y=？

5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。 七、 作业、

1、已知 x=1 是方程组 ax+by=2 的解，则a、b的值是多少？ y=1 x-by=3 2、若方程组 4x+3y=1 的解x与y相等，则a的值是多少？ ax+(a-1)y=3

4

5.2 二元一次方程组的解法(二)

一、教学目标设计：

1. 了解并会用加减消元法解二元一次方程组。

2. 了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。 3. 初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性。 教学重点和难点： 二、教学重点：

1. 会用加减消元法解二元一次方程组。 2. 会用加减消元法解二元一次方程组。 三、教学难点：

掌握解二元一次方程组的“消元”思想。 四、教学过程设计：

1、创设情境：

怎样解下面的二元一次方程组呢？

3x5y21 2x5y-11分析：观察方程组中的两个方程，未知数y的系数互为相反数，把这两个方程两边分别相加，就可以消去未知数y，得到一个一元一次方程；

（3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21 + (－11) ①左边 + ②左边 = ①左边 + ②左边 3X+5y +2x － 5y＝10 5x+0y ＝10

5x=10

解:由①+②得: 5x=10

x＝2

把x＝2代入①，得 y＝3 所以原方程组的解是x3

y22、探索尝试:

参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？ 例1 解下列方程组．

2x5y7 2x3y1分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．

解：把 ②－①得:8y＝－8

y＝－1

把y ＝－1代入①，得 2x－5╳（－1）＝7

5

解得:x＝1

所以原方程组的解是x1y1

3. 随堂练习:

指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：

7x-4y45x4y2 3x-4y145x4y4 解:①－②，得 解 ①－②，得 －2x＝12 2x＝4－4， x ＝－6 x＝0 正确的解是：

解: ①－②，得 解: ①＋②，得 8x＝16 2x＝4＋4，

x＝4 x ＝2 4.议一议:

上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？这些方程组的特点是同一个未知数的系数相同或互为相反数 这类方程组基本思路：加减消元----二元---- 一元 主要步骤：

加减----消去一个元

求解----分别求出两个未知数的值 写解----写出方程组的解 5.做一做

例2．用加减法解下列各方程组

2x3y123x4y17 分析：(1)用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就可先消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数，通过变形使其绝对值相等，再进行消元．

(2)运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质2来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已经相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．

①×3得6x+9y=36 ③ ②×2得6x+8y=34 ④ ③-④得y=2

把y ＝2代入①，得

6

解得:x＝3

x1所以原方程组的解是

y1说明：1．加减消元法的依据是等式性质1，即在一个方程左右两边分别加上或

减去另一个方程的左右两边，所得的结果仍是等式．经过这样的运算，其中一个未知数被消去了，原来的“二元”化为“一元”，转化为一元一次方程，从而可求出原方程组的解来．

2.对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准的二元一次方程组后再消元

5.试一试: 运用加减消元法解下列方程组：

14s3t55x6y932(1)(2) （3） x17x4y52st5y224x1y6.探索与思考：在解方程组axby2x1时，小张正确的解,小李由于看错了方程组

cx3y5y2x3中的C得到方程组的解为，试求方程组中的a、b、c的值。

y1

7.小结 ：

加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元 主要步骤有：

变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数 加减----消去一个元

求解----分别求出两个未知数的值 写解----写出方程组的解 8.作业

7

§5.3 鸡兔同笼

【教学目标】

1.使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题

2.通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。 【教学难点】根据题意找出等量关系，列出方程。 【教学过程】

一、 我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展

作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。 “雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”

问题1、“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？ 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。

问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？

（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设有鸡x只，兔y只，则

x+y=35 解之得 x=23 2x+4y=94 y=12 答：共有鸡23只，兔12只。

这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了

数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”„„

二、 中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的

书上就提供了这样的一个例题

例1、 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、

井深各几何？

接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下，这段古文的意思？

（用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺？） （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设绳子长x尺，井深y尺，则

xy53

xy14解之得 x= 48

y=11 答：绳子长为48尺，井深11尺。 议一议

8

三、

从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。 用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题： 1、 认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义 2、 正确设出未知数

3、 找出相等关系，并列出方程组。 4、 解此方程组 5、 写出答案

四、 练一练

1、 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在

分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：

隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两， 问你多少人数多少银？ 2、 列方程组解古算题：

“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”、2头牛、5只羊共价值8两“金”、每头牛、每只羊共价值多少“金”？

[可设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则有方程组

5x+2y=10 解之得 x=

34 21202x+5y=8 y=

21五、 小结

经过本节课的学习，你有什么收获和体会？ 六、 作业 习题5.4。

§5.4增收节支

【教学目标】

1.会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。

2.培养学生分析问题和解决问题的能力。

3.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。 【教学过程】 一、 议一议

增长（亏损）率问题的公式？

原量（1+增长率）=新量，或原量（1—亏损率）=新量， 2、银行利率问题中的公式？

利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息 二、 新授、

某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少

9

万元？

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有 去年 今年 （小组讨论，完成上表） 去年 今年 总产值/万元 x （1+20%）x 总支出/万元 y （1—10%）y 利润/万元 200 780 总产值/万元 x 总支出/万元 y 利润/万元 200 根据题意得： x－y =200 ，解之得： x=2000 120%－90%y=780 y=1800 答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，

变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 简析：如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则

xy780 让学生动手解这个方程组， 体验这种解法的繁琐，再xy200120%90%让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x万元，总支出为y万元，计算方便。 三、做一做

例1、 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白

质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表： 其中所含营养品 其中所含铁质 甲原料各x克 0.5x单位 x单位 乙原料各y克 0.7y单位 0.4y单位 所配制营养品 (0.5x+0.7y)单位 (x+0.4y)单位 根据题意，可得方程组 0.5x+0.7y=35

x+0.4y=40

化简，得 5x+7y=350 ① 5x+2y=200 ② ①－②，得 5y=150 y=30

将y=30代入①，得x=28。

所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。 解此题需要注意以下两点：

1、 甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁

质）的含量。

2、 甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁

质。

10

例2、甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，

1小时相遇，两人的平均速度各是多少？

解：设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得： 3x=3y+6

x+y=6 解这个方程组，得： x= 4 y=2 答：平均每小时甲行4千米，乙行2千米。

四、 练一练

1、一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一

班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？

解：可设班有x人，二班有y人，则有方程组

x+y=6 x= 48 87.5%+75%=81(x+y) y=52

2、甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时

后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？

解：设甲、乙两人每小时分别行走x千米、y千米。根据题意可得： 4.5x+2.5y=36 x= 6 3x+5ky=36 解此方程可得 ： y=4 所以甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。

五、 小结

1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。 3、 设未知数有两种方法：（1）直接设元

（2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。

六、 作业 习题5.5。

§5.5里程碑上的数

【教学目标】

【知识目标】1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和

行程问题

2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

【能力目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是

刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤

【情感目标】在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难

11

的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。

【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题

的步骤。

【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 【教学过程】

一、 想一想，忆一忆 ：解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？

（解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本方法是代入法和加减法

二、 创设情景，引入新课

小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下：12∶00时，这是两位数，它的两个数字之和为7，13∶00时，十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；14∶00时，比12∶00时看到的两位数中间多了个0，你能确定小明在12∶00时看到的里程碑上的数字吗？

如果设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么 1、 12∶00时小明看到的数可表示为

根据两个数字和是7，可列出方程 （10x+y； x+y=7）

2、 13∶00时小明看到的数可表示为 12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程是 [10y+x；(10y+x)-(10x+y)]

3、 14∶00时小明看到的数可表示为 13∶00~14∶00间摩托车行驶的路程是 [10x+y；(100x+y)-(10x+y)]

4、 12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能

列出相应的方程吗？

[答：因为都匀速行驶1小时，所以行驶路程相等，可列方程

(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)，根据以上分析，得方程组：

x+y=7

(100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y) 解这个方程组得： x=1

y=6

因此，小明在12∶00时看到里程碑上数是16。 同学们：你能从此题中得到何种启示？

答：从中得到解数字问题常设十位数字为x，个位数字为y，这个两位数为10x+y。 三、 练一练

例1、 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个

四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。 设较大的两位为x，较小的两位数为y。

分析：

问题1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为 [100x+y]

问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示 为 [100 y + x]

12

解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。 x+y=68

（100x+y）-（100 y + x）=2178

化简，得： x+y=68

99x-99y =2178

即， x+y=68 x-y =222

解该方程组得 x=45

y =23 四、 做一做

1、 一个两伯数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它

的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ [解：设十位数为x，个位数为y，则

10x+y-3(x+y)=23 10x+y=5(x+y)+1

解之得： x=5 所以这个两位数是56 y=6

五、 议一议

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 1、“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； 2、“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需

要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

3、“解”：解这个方程组，求出未知数的值； 4、“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意； 5、“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称； 六、 小结

通过这节课的学习你有什么收获？ （学生分小组讨论，并相互补充交流）

1、 本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数

表示相关数量，再列出方程。

2、 用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答 七、 作业习题5.6。

§5、6二元一次方程与一次函数

【教学目标】

【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方

程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.

【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联

系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.

【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系

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2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力 【教学过程】 y 一、 忆一忆

1、 同学们:什么叫二元一次方程的解? 2、 一次函数的图像是什么?

x 3、 如图,求一次函数的图像的解析式 o 1 二、 试一试

1、 问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来

[方程x+y=5的解有无数多个，如：

x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3 y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等

2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图像上

吗？

3、 在一次函数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

4、 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图像相同吗？ 三、 做一做

在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组 x+y=5

2x－ y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？ [一次函数y=5－x和y=2x－1的图像的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程组

y=3

x+y=5 2x － y=1的解。]

例1、 用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2 y 2x – y=2 解：由x-2y= - 2可得y=

x1，同理， 2由2x – y=2可得y=2x – 2，在同坐标系中作出 一次函数y=

观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 的解是 x = 2 y= 3

同学们你从本题中感悟到什么？

原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：

1、 把二元一次方程化成一次函数的形式

2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 3、 交点坐标就是方程组的解。

四、 练一练

x1的图像和y=2x – 2的图像， 2o 1 x 14

1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4

2x-3y=12 [由2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y=函数y= -2x+4和函数y=

2x4 在同一直角坐标系中作出32x4的图像，观察图像可得交点为（3，-2），所以方程组 32x+y=4 的解是 x =3 2x-3y=12 y= - 2

2、在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作 的解。

[答案： y=1+2x y=4 - x

五、 试一试

1、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？

4 y O 2 6 x -4 2、一次函数y=2 –x，y=5 - x的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ [没有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5；一次函数y=2 –x，y=5 - x的图像是两条

平等的直线。

我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）

二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）

六、 小结

1、 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像

2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。

七、作业 习题5.6。

§5.7 回顾与思考

教学目标：

1、使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组；

2、举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练建模；

3、进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系。 教学重点：

1、二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、图象法； 2、列二元一次方程组解决实际生活问题； 3、二元一次方程和一次函数的关系。 教学难点：

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1、列二元一次方程组解决实际生活问题；

2、几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。 教学方法：交流——讨论——反逻辑性的师生主动法 一、回顾与思考

1、用自己的语言回答以下问题：

（1）举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子。

（2）在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？

（3）解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明在什么情况下采用哪一种方法更为简便，并简要阐述解二元一次方程组的过程。 （4）举例说明二元一次方程与一次函数有何关系。 2、实际问题：

某商店购进一批衬衫，甲顾客以7折的优惠价格买了20件，而乙顾客以8折的优惠价格买了5件，结果商店都获得利润200元，求这批衬衫的进价是多少元？标价是多少元？ 问：在这个问题你发现有哪些等量关系？这是解决问题的关键。 （1）利润=售价—进价

（2）甲顾客以7折买了20件后，商店所获的利润=200元 （3）乙顾客以8折买了5件后，商店所获的利润=200元

问：若设这批衬衫的进价为X元，标价为Y元，则根据以上关系，列出方程组？ 问：用什么方法解以上方程组？（可用代入消元法或加减消元法）

练习：某商店出售的某种茶壶每只定价20元，茶杯每只定价3元，该商店在营销淡季特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯，我爸爸的单位里花了170元，买回茶壶和茶杯一共38只，问我爸的单位里买回茶壶和茶杯各多少只？

问：在以上列方程组解决实际问题中，你认为最关键的是什么？利用方程组解决实际问题中的关键是正确找出问题中的两个等量关系，列出方程组成方程组，并注意检验解的合理性。

3、解二元一次方程组的基本思路——消元 解方程组

分组分别用代入消元法，加减消元法，图象法解以上方程组。 三、建立体系：

通过以上几个问题的思考，形成本章知识联系图： 丰富的问题情境——二元一次方程组

含义 解法 应用 代入消元法 加减消元法 图象法 四、课堂练习： 课本复习题1-5 五、小结：

通过本章的学习，掌握了二元一次方程（组）的解法及应用，提高了解决问题分析问题的能力，进一步体会到数学中的方程思想，化归思想和数形结合思想。 六、作业：复习题

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