第３１卷第３期 兰州交通大学学报 Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．３ ２０１２年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｕｎｅ ２０１２ 文章编号：１００１—４３７３（２０１２）０３－０１２０—０５ 一种新的小波阈值去噪方法 许文博， 武晓春，邢建平 （兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州７３００７０） 摘要：介绍了相关去噪、模极大值去噪和小波阈值去噪３种传统的去噪方法的原理，分析了小波阚值去噪方法的 缺点．提出了新的阀值确定方法，并应用一种新的小波阈值函数处理小波系数实现去噪．最后，用Ｍａｔｌａｂ仿真软件 对新的小波阀值去噪方法进行了验证，仿真结果表明新阈值去噪算法的优越性和有效性． 关键词：小波去噪；闲值；阈值函数；模极大值 中图分类号：ＴＮ９ｌ１．４ 文献标志码：Ａ 在实际应用中，由于各种复杂的现场原因，接收 应噪声的极值点），保留幅度随尺度增加而增大的点 到的信号总是夹杂着噪声，大大降低了信号的有效 （对应于有用信号的极值点）．然后再由保留的模极大 性，甚至会使它们失效，因此去噪是信号处理中一个 值点用交替投影法进行重构，即可以达到去噪的目 尤为重要的问题．传统的去噪方法是依据对含噪信 的．但是，交替投影法算法复杂，容易造成投影信号的 号的频谱分析，对信号直接进行低通或带通滤波．虽 偏差，难以在实际应用中对信号进行实时处理［１］． 然这种方法简单，易于实现，但它不能滤除有效频带 １．２相关性去噪算法 内的噪声，并且滤波器带宽的选择与高分辨率是相 相关性去噪算法是根据信号经小波变换后，其 矛盾的．小波分析提供了一种自适应的时域和频域 小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信 同时局部化的多分辨率分析方法，可以很好的刻画 号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小 信号的非平稳特性．根据噪声和信号的小波系数在 波系数在各尺度间却没有这种明显的相关性来去噪 小波分解尺度上具有不同的特性，构造相应的规则， 的．在尺度空间上的相关运算能使噪声的幅值大为 在小波域采用适当的方法对含噪信号的小波系数进 减小，从而抑制了噪声和小的边缘，增强了信号的主 行处理．近年来，随着对小波去噪算法的深入研究， 要边缘，更好地刻画了原始信号．并且在小尺度上， 小波去噪方法也丰富起来．目前比较常用的小波除 这种作用明显大于在大尺度上的作用．由于噪声能 噪方法有：模极大值去噪算法、相关性去噪算法和小 量主要是分布在小尺度上，因而这种随尺度增大而 波阈值去噪算法． 作用强度递减的性质，恰好滤除了噪声，很好的保留 １经典的小波算法 了有用信号 引． １－３小波阈值去噪算法 １．１模极大值去噪算法 小波变换具有一种“集中”的能力，能将信号的 模极大值去噪算法是根据信号和噪声在多尺度 能量集中到少数的小波系数上，而白噪声在任何正 空间上小波变换系数的模极值传播规律的不同而发 交基上的变换仍然是白噪声，其分量分布在大多数 展起来的一种去噪算法．理论上只要信号与噪声的 展开系数上．相对来说，有用信号所对应的小波系数 奇异性有差异，就能产生很好的去噪效果．一般信号 幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一 小波系数的模极大值将随着小波分解层数的增大而 致分布的，个数较多，但幅值小．基于这一特点，Ｄｏ— 增大；而对于白噪声信号，其模值随着分解层数的增 ｎｏｈｏ等人提出硬阈值和软阈值去噪方法，即在众多 大而减小．因此，观察不同尺度间小波变换模极大值 小波系数中，把绝对值较小的系数置为零，而让绝对 变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点（对 值较大的系数保留或收缩，得到估计小波系数，然后 收稿日期：２０１卜Ｏ９一ｌＯ 作者简介：许文博（１９８７一），男，甘肃庆阳人，硕士生 第３期 许文博等：一种新的小波阈值去噪方法 １２１ 利用估计小波系数直接进行信号重构，即可达到去 噪的目的ｌ－３］． 小波阈值去噪算法主要分为４个步骤： 第１步选择一个小波基函数，确定小波分解 层数并对信号进行小波分解．常用于去噪的小波函 数有ｄｂＮ小波、ｓｙｍＮ小波和ｃｏｉｆＮ小波，层数一般 为３－５层＿４］． 而在高频系数保留了一些噪声；②在进行阈值处理 时，硬阈值处理能更多的保留真实信号的尖峰等特 征，但由于其本身的不连续性，去噪的的结果会出现 震荡，软阈值是一种更平滑的方式，能在去噪后产生 更光滑的结果，但估计的小波系数与原小波系数之 间存在恒定的偏差［６］．本文采用的改进方法如下： １）各层采用不同的阈值 由文献Ｅ７］可知： ｌ ＷＴ２ｊＸ（ ）Ｉ≤Ｋ２ （３） 第２步阈值的确定 小波阈值在去噪过程中起到决定性的作用．如 果阈值太小，那么阈值处理后的小波系数中包含了 过多的噪声分量；如果阈值太大，那么将会丢失信号 其中：Ｋ为一个常数；Ｊ为分解层数；ａ为Ｉ ｉｐ指数； ＷＴ （￡）为第 层的小波系数．Ｉ ｉｐ指数与信号的 奇异性有关，口越大，信号越平滑．对于一般信号ａ＞ 的一部分有用信息，从而造成小波系数重构后的信 号失真．常用的阈值选择方案有４种： ０，即有用信号对应小波系数随分解尺度 的增大而 变大．而白噪声的Ｉ ｉｐ指数则为负值，即噪声对应的 小波系数随分解尺度 的增大而减小． 由文献Ｅ８－］可知，白噪声的Ｉ ｉｐ指数满足式（４）： ～ 。一一 一￡，一 ’￡＞０。夕 ０ ａ一１）基于无偏似然估计的软阈值估计（ｒｉｇｓｕｒｅ）， 首先得到一个给定阈值的风险估计，之后选择风险 最小的阈值作为最终选择． ２）长度对数阈值（ｓｑｔｗｏｌｏｇ）计算公式为 — ，１（４） ４） 其中： 为信噪比；Ｎ为信号长度． ３）启发式ＳＵＲＥ阈值（ｈｅｕｒｓｕｒｅ）是前两种阈 值的综合． ４）最小极大方差阈值（ｍｉｎｉｍａｘｉ）产生一个最 小均方误差的极值，在给定的函数集中实现最大均 由式（３）和式（４）可知 ｍａｘ｛１ ｗＴ２ （￡）１）＞ｍａｘ｛１ ｗＴ２ｊ＋ （ ）Ｉ） （５） 其中： ｚ （￡）为噪声对应的第 层小波系数，由 式（５）可知噪声对应的第Ｊ＋ｌ层小波系数的最大值 方误差最小化． 在实际应用中，基于无偏似然估计和最大最小值 法比较保守，而其他两种方法产生的阈值则过大［引． 第３步 选择合适的阈值函数对小波系数进 行阈值处理． 小于第 层小波系数的最大值的 倍，因此，本文在 阈值处理时每层系数采用不相同的阈值，用前面所 述的４种阈值计算方法确定第一层阈值，以后各层 阈值为前一层阈值的 倍，即． 一 ｆ 常用的阈值函数有以下两种： 硬阈值法： ㈩ ２）采用新的阈值函数 软阈值函数在阈值点处连续，去噪结果光滑、无 尖峰，但因为在函数中小波系数减去了一个常数，从 而使得处理后的小波系数与原小波系数存在恒定的 偏差，降低了去噪效果．本论文采用一种新的阈值函 数，以消除这一恒定偏差，即将式（２）中的常数 换 为一个随小波系数ｄ 的变化而连续变化的量ｔ，使ｔ 在阈值点处的值为 ，并且随着ｄ 绝对值的增大而 软阈值法： ｄｆ ｓｇｎ（ｄ ）（Ｉ ｄ Ｊ— ）， ｌ ｌ≥ ；… ｉ—１０， Ｉｄ ｌ＜ ． 第４步 小波重构：根据阈值化处理后的高频 小波系数以及未处理的低频小波系数进行离散小波 反变换重构信号． ２ 一种新的小波阈值去噪方法 小波阈值算法比较简单，运算量小，因此在信号 迅速减小．阈值函数如下： 一去噪方面得到了广泛的应用．但是这种方法还存在 以下两种不足：①白噪声信号的模极大值随着分解 层数的增大而减小，对不同的分解层数采用相同的 阈值进行处理，会在低频系数中滤除过多有用信息 ｛ｇｌ ｎ（ｄｉ）（１ ｄｉ卜 ， ｌｄ ≥ （‘６６）） ｌ０， Ｉ＜ ． ｅｘｐ（ 』 其中：ｔ一——＿ｒ＿争 ） 式中：『＼，为一个正常数； 为处理前的小波系数； １２２ 兰州交通大学学报 第３１卷 为处理后的小波系数．该阈值函数和软阈值函数一 图１为硬阈值函数、软阈值函数及改进阈值函 样具有连续性，而且当ｌ ｄ Ｉ≥ 时，函数是高阶可 ４ ０ ２●Ｏ ０ 数的曲线图，其中：阈值 一１，Ｎ—１．从图１中可以 导的，并且随着系数ｄ 的增大，ｔ的值逐渐减小，使 看出，硬阈值函数在阈值点处不连续，软阈值函数存 得处理后的小波系数与原小波系数更接近．当Ｎ取 在恒定的偏差．改进阈值函数在阈值点处连续，并且 值很大时．ｔ的值随ｄ 的变化缓慢，新阈值函数相似 以硬阈值曲线为渐近线． 于软阈值函数；当Ｎ趋近于０时，ｔ的值随ｄ 的变化 迅速，新阈值函数相似于硬阈值函数．因此，可通过 ３实验仿真 调节Ｎ的大小来改善去噪结果，当去噪后的信号不 文中应用Ｍａｔｌａｂ仿真软件分别对Ｂｌｏｃｋ信号 够光滑或存在尖峰时，则增大Ｎ的值；相反，当去噪 和Ｂｕｍｐｓ信号先加入高斯白噪声，然后采用硬阈 结果过于光滑而丢失了过多的细节信息时，则减小 值、软阈值和本文提出的阈值去噪方法进行去噪． Ｎ的值． Ｂｌｏｃｋ信号采用ｄｂｌ小波对含噪信号进行５层小波 分解，用最小极大方差法确定阈值，其中新的阈值函 数中，Ｎ等于１．Ｂｕｍｐｓ信号采用ｓｙｍ５小波对含噪 信号进行５层小波分解，用最小极大方差法确定阈 值，Ｎ等于４． 图２为Ｂｌｏｃｋ信号及其去噪仿真结果，从图中 可以看出，硬阈值法无法完全滤除信号中的噪声，去 噪信号中含有一些尖峰，不够光滑．软阈值则滤除了 图１ ３种阈值函数曲线图 过多的有用信号，使得信号在奇异点处变化缓慢．而 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆｔｈｒｅｓｈｏｌｄｆｕｎｃｔｉｏｎ￣ｌｌ－ｖｅｓ 新的小波阈值去噪方法正好克服了两者的缺点，既 滤除了更多的噪声，又保留了更多的有用信号． 原始信号 加入高斯白嗓声的信号 图２ Ｂｌｏｃｋ信号及其去噪结果 Ｆｉ．ｇ２ Ｂｌｏｃｋ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ 第３期 许文博等：一种新的小波阈值去噪方法 表１ Ｂｌｏｃｋ信号的３种去噪结果比较 １２３ 表１分别列出了３种方法对含噪的Ｂｌｏｃｋ信号 去噪后的信噪比和均方差，很明显采用新的小波阈 值去噪方法去噪后的信号信噪比最高，均方差最小． 由于Ｂｌｏｃｋ信号有很多突变点，所以硬阈值比软阈 值效果较好． Ｔａｂ．１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｂｌｏｃｋ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ 原始信号 加入高斯自噪声的信号 软阀值去噪后的的信号 硬阀值去噪后的的信号 新阀值函数去噪后的的信号 图３ Ｂｕｍｐｓ信号及其去噪结果 Ｆ唔３ Ｂｕｍｐｓ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄｔｈｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｓｔ 图３为Ｂｕｍｐｓ信号及其去噪仿真结果，从图中 可以看出，硬阈值法去噪信号不够光滑，软阈值去噪 信号则过于光滑，滤除了信号的尖峰．新的小波阈值 去噪方法克服了以上两种方法的缺点，达到了比较 好的去噪效果． 表２ Ｂｕｍｐｓ信号的３种去噪结果比较 Ｔａｂ．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｂｕｍｐｓ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ 噪效果最好． ４结论 本文利用噪声与信号在小波变换各层系数的传 输特性的不同以及噪声对应的小波系数模极大值之 间的关系，提出对各层系数采用不同的阈值进行处 理，并针对软阈值函数和硬阈值函数各自的缺陷，提 出了一种新的阈值函数，更增加了小波去噪的灵活 性．通过最后的仿真结果表明，新的小波阈值去噪方 法可大幅度提升去噪效果，具有较好的工程应用价 值． 表２列出了３种方法对含噪的Ｂｕｍｐｓ信号去 噪后的信噪比和均方差，从表中可知新的小波阈值 参考文献： ［１］金宝龙，李辉，赵乃杰，等．一种新的小波阈值去噪算法 去噪方法去噪后的信号信噪比最高，均方差最小，去 １２４ 兰州交通大学学报 第３１卷 ［Ｊ］．弹箭与制导学报，２０１１，３１（１）：１６７—１６９． Ｅｅｌ 刘宗昂，杨莘元，王丽安．一种新的小波去噪算法［Ｊ］． 弹箭与制导学报，２００９，２９（１）：２８６—２８９． 与电子工程，２００８，６（３）：２２０—２２２． ［６］ 王彦青，魏连鑫．一种改进的小波阈值去噪方法ＥＪ－Ｉ．上 海理工大学学报，２０１ １，３３（４）：４０５—４０８． －ｉ７－１ 刘涛．实用小波分析入门［Ｍ］．北京：国防工业出版社， ２００６：ｌ１３－１２９． 马立元，李永军，等．基于小波分析的改进软阈 ［３］ 段永刚，值去噪算法［Ｊ－Ｉ．科学技术与工程，２０１０，２３（８）：５７５５－ ５７５８． ［８］ 张兆宁，董肖红，潘云峰．基于小波变换模极大值去噪 方法的改进［Ｊ］．电力系统及其自动化学报，２００５，１７ ［４］ 臧怀刚，王志斌，郑英．改进小波阈值函数在局放去噪 分析中的应用［Ｊ］．自动化仪表，２０１０，３１（５）：５－７． （２）：９—１２． ［５］ 吴伟，蔡培升．基于Ｍａｔｌａｂ的小波去噪仿真［Ｊ］．信息 Ａ Ｎｅｗ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ＸＵ Ｗｅｎ—ｂｏ。ＷＵ Ｘｉａｏ—ｃｈｕｎ，ＸＩＮＧ Ｊｉａｎ－ｐｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｌ￣ｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｅｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａ１ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｈｉｃｈ ｉｎｃｌｕｄｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｗａｖｅｌｅｔ ｍｏｄｕｌｕｓ ｍａｘｉｍａ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ．Ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈ— ｏｄ ｉｓ ａｎａｌｙｓｅｄ，ａｎｄ ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｔｈｅｎ ａ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｈｏｗｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ ｄｅｎｏｓｉｎｇ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ；ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍｏｄｕｌｕｓ ｍａｘｉｍａ
