【数学】福建省石狮市五校2010届高三期末联考(文)

福建省石狮市五校2010届高三期末联考试卷

数 学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卡的相应位置．）

1．设集合UxN0x8，S1，2，4，5，T3，5，7，则SA．1，2，4 B．1，2，3，4，5，7 C．1，2 (CT)=（ ）

UD．1，2，4，5，6，8 2．函数f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（ ）  B． C． D．2 423.已知向量ax,2,b3,1，若ab//a2b，则实数x的值为（ ） A．A．-3 B. 2 4．设a1.20.6C．4 D. -6 2，blog3，clog13，则有（ ） A．acb B．abc C．bac D．bca 5．已知圆C:xay24a0及直线l:xy30，当直线l被C截得弦长为23时，则a等于（ ） A．2 B．23 C.21 D．21 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S714，则a3a5的值为（ ） A．2 B．4 C．7 D．8 7．下列有关命题的说法错误的是（ ） ．．A．命题“若x3x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x3x20”； B．“x1”是“x3x20”的充分不必要条件； C．pq为假命题，则p,q均为假命题； D．命题p：xR，使得xx10，则p：xR，均有xx10 8．已知tan222222231,2)，则cos（ ），且(． 23A．

1031010310 B． C． D．

10101010第 1 页 共 9 页 雨竹林科技 让年轻 我极限 www.yuzhulin.com

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9．已知数列an中，a11，且113nN*，则a10（ ） an+1anA．28 B．33 C．

11 D． 332810．设m.n是不同的直线，..是不同的平面，有以下四个命题： ① 若//,//, 则// ②若，m//，则m

③ 若m,m//，则 ④若m//n,n，则m// 其中真命题的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ x31，x111．函数fx，则下列结论正确的是（ ） x12sinx，2A．函数fx在1，上为增函数 B．函数fx的最小正周期为4 C．函数fx是奇函数 D．函数fx无最小值 12．已知向量a,b的夹角为60，ab1， c与ab共线，则ac的最小值为（ ） A．2 2B．13 C． 22D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．） x213．若 y2，则目标函数zx3y的最大值是 。 xy614．根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个零点所在的区间为

(k,k1)(kN)，则k的值为 。

x －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5 ex x2

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15. 一正方体的棱长为m，表面积为n；一球的半径为p,表面积为q，若

m2，则pn= 。 q16．如图是函数yf(x)的导数的图象，对于下列四个命题： ．．①f(x)在[2,1]上是增函数； ②x1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x3是f(x)的极小值点。 第16题 -2-13O124xy其中正确的命题的序号是 。 ．． 三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 把答案填写在答题卡的相应位置） 17．（本题满分12分） 设正项等比数列an的前n项和为Sn，已知a34，a4a5a6212. （1）求首项a1和公比q的值； （2）若Sn2101,求n的值。 18.（本题满分12分） 已知ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，ab2abc，函数222f(x)2sinx(cosxsinx。) （1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间； （2）求角C的大小； （3）求f()的取值范围

19.（本小题满分12分）

A2第 3 页 共 9 页 雨竹林科技 让年轻 我极限 www.yuzhulin.com

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已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由。

C C1

4

B B1 8侧视图M 正视图A N

4 4

俯视图（第19题图） 20．（本题满分12分） 设计一种正四棱柱形冰箱，它有一个冷冻室和一个冷藏室，冷藏室用两层隔板分为三个抽屉，问：如何设计它的外形尺寸，能使得冰箱体积V0.5(m)为定值时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小 （参考数据：30.20.58,30.50.79，0.580.3364，0.790.6241） 21．（本小题满分12分） 已知C为圆(x2)2y212的圆心,点A(2,0),P是圆上的动点，点Q在圆的半223径CP上，且MQAP0,AP2AM.。 （1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程； （2）有一直线l，原点O到l的距离为求证直线l与曲线E必有两个交点。

22．（本题满分14分） 3, 2 13a12f(x)xxbxa(a,bR)，且其导函数f(x)的图像过原点。 已知函数

32 （1）当a1时，求函数f(x)的图像在x3处的切线方程；

（2）若存在x0，使得f(x)9，求a的最大值；

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（3）当a0时，求函数f(x)的零点个数

福建省石狮市五校2010届高三期末联考试卷参考答案

数 学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1110 1 2 A C D B C B C C D D D C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 14 ； 14. 1 ； 15. 6 ； 16. ②③ . 三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：（1）设正项的等比数列an的公比为q.由a4a5a6212可得a53212.故a516.又

a34.可得q2.所以首项a11. „„„„„„„„„6分a1(1qn)12n（2）由Sn2101.可得n10. „„„„„„„„„12分

1q12

18. 解：（1）f(x)sin2x2sinxsin2x1cos2x1) 42337，又令2k2x2kkxk∴T 22428837∴f(x)的单调递减区间为k,k,kZ． „„„„„„„„„4分

88a2b2c22222（2）由ab2abccosC，又0C∴C．„8分 42ab233A（3）由（2）知，0AB，∴0A，又f()12sin(A)，

44242AAsin(A)10f()21．„„„„12分 442242

19.(1)证明:由已知得B1C1⊥平面BNB1,∴B1C1⊥BN, BN=42= B1N, BB1=8, ∴BB1= BN+ B1N, ∴BN⊥B1N

2

2

2

22sin(2xC C1

又B1C1与B1N交于B1, ∴BN⊥平面C1B1N；„„„„6分

(2)延长BA.B1N交于R,连结CR,∵MP∥平面CNB1, MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR, ∴MP∥CR, △RB1B中AN//P A B M N B

1BB1,∴A为RB中点, 2R第 5 页 共 9 页 雨竹林科技 让年轻 我极限 www.yuzhulin.com

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BPBM1==,∴BP=1,因此存在P点使MP∥平面CNB1. „„„„„12分 BCBR40.520.解：设水箱的底面边长为x(m)，则高为2(m)，

x0.52S5x24x25x2(x0)

xx2S/10x2 ，由S/0x30.2,S/00x30.2，

x∴函数S在(0,30.2)上递减，在(30.2,)上递增，∴x30.20.58时，S有最小值，

0.5此时21.49 x答：冰箱底面正方形边长为0.58m，高度为1.49m时，它的表面和三层隔板（包括冷∴

冻室的底层）面积之和S值最小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

21.解：（1）圆(x2)2y212的圆心为C(2,0)， 半径r23 MQAP0,AP2AM, MQAP,点M是AP的中点,即QM是P的中垂线，连结AQ，则|AQ|=|QP| |QC||QA||QC||OP||CP|r23 又|AC|2223， 根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（－2，0），A（2，0）为焦点，长轴长为23

x2y21.„„„„„6分 的椭圆，由c2,a3,得b1,因此点Q的轨迹方程为32（2）证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：l:x3, 2不妨取x33代入曲线E的方程得：y 22即G（

3333，），H（，－）有两个不同的交点， 2222当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：ykxb

由题意知：

|b|1k233,即b2(1k2) 24第 6 页 共 9 页 雨竹林科技 让年轻 我极限 www.yuzhulin.com

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ykxb222由x3消y得:(23k)x6kbx3b30 2y1336k2b24(13k2)(3b23)12(3k2b21)27k230

∴直线l与椭圆E交于两点

综上，直线l必与椭圆E交于两点 „„„„„„„„„„ 12分

22.（本题满分14分） 解法一:f(x)13a12xxbxa,f(x)x2(a1)xb 3213xx21，f(x)x(x2)，f(3)1，f(3)3 3由f(0)0得 b0,f(x)x(xa1). （1）当a1时，f(x)所以函数f(x)的图像在x3处的切线方程为y13(x3) 即3xy80 „„4分 （2）存在x0,使得f(x)x(xa1)9， a1x9 x99(x)()2(x)()6，a7， xx当且仅当x9即x3时，等号成立 ∴a的最大值为7. „„„„9分 x（3）当a0时，x,f(x),f(x)的变化情况如下表： x f(x) f(x) (,0) 0 0 极大值 (0,a1)   a1 0 极小值 (a1,)     „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

f(x)的极大值f(0)a0， 1111f(x)的极小值f(a1)a(a1)3a33(a)20

6624又f(2)a143130,f(x)x2x(a1)a，f((a1))a0. 3232所以函数f(x)在区间2,0,(0,a1),(a1,(a1))内各有一个零点，

故函数f(x)共有三个零点 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

32第 7 页 共 9 页 雨竹林科技 让年轻 我极限 www.yuzhulin.com

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解法二：（1）同解法一；

（2）存在x0,使得f(x)x(xa1)9， ax91 x99x29(x3)(x3)令g(x)x1(x0) g(x)12 22xxxx∴令g(x)0，解得x3，列表，得

x (,3) －3 0 极大值g(3) (3,0)  g(x)  g(x)   ∴amaxg(3)7 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 （3）当a0时，x,f(x),f(x)的变化情况如下表： x f(x) f(x) (,0) 0 0 极大值 (0,a1)   a1 0 极小值 (a1,)     „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 1f(x)的极大值f(0)a0， f(x)的极小值f(a1)a(a1)3 611设h(a)a(a1)3(a33a23a1) 6611则h(a)(3a26a3)a(12)a(12) 62当0a12时, h(a)0,当a12时, h(a)0,函数h(a)在区间0,12上是增

函数,在区间12,上是减函数,故函数h(a)在区间0,上的最大值为

h(12)1220， 31610(a0) 3从而f(x)的极小值f(a1)a(a1)3当x无限减小时，f(x)无限趋向于；当 x无限增大时，f(x)无限趋向于. 故函数f(x)在区间,0,(0,a1),(a1,)内各有一个零点

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所以函数f(x)共有三个零点 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

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