一次函数应用题(选择方案)(优选.)

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一次函数应用题（选择方案） 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 全国 课时时长（分钟） 60分钟 知识点 1.一次函数的性质和图像 2.一次函数与方程、不等式、不等式组、方程组的关系 3 一次函数与方案选择应用题 教学目标 1. 巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题，培养学生数形结合的能力 2. 把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力 3、认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力 教学重点 教学难点 一次函数的模型建立及应用 如何选择合适的模型并应用 教学过程

一、 复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

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二、知识讲解

考点/易错点1 一次函数与一元一次方程的关系

解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x•轴的交点的横坐标．

考点/易错点2 一次函数图像与坐标轴的交点

在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0•的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象，当x=0,y=b,当y=0，x=-

k一次函数图像与y轴交点（0，b),与x轴交点为（-b

k

b，0）。

考点/易错点3 一次函数的解析式的求法

（1）写出函数解析式的一般形式，其中包括未知系数；

（2）把自变量与函数的对应值（也可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组（有几个待定系数，就要有几个方程）； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析

考点/易错点4 一次函数与二元一次方程组的关系

两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解

三、例题精析

【例题1】

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【题干】一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：

⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；

⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？

（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）

【答案】 （1）s=50x+100

（2）要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000 元或61000元。

【解析】⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50 ∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100

⑵当1050x-150 (10当0≤x≤10时，50x-100=360 解得x=9.2 s=50x+100=50×9.2+100=560

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当10y（百元）850400350O-1001020x（百人）

【例题2】

【题干】甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发

到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：

⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；

⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

126S（千米）C甲DBE乙23Ft（小时）

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【答案】（1）s甲=3t，s乙=2t （2）8千米 （3）6千米

【解析】⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t。由题意得：6=2 k1，6=3 k2，解得：k1=3，k2=2 ∴s甲=3t，s乙=2t

⑵当甲到达山顶时，s甲=12（千米），∴12=3t 解得：t=4∴s乙=2t=8（千米） ⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12） 由题意得：点B的纵坐标为12-

32121=，代入s乙=2t，解得：t= 224∴点B（

2121，）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得 42 2121t+b= 解得： k=-6 42 5t+b=12 b=42 ∴直线BD的解析式为s=-6t+42 ∴当乙到达山顶时，s乙=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）

【例题3】

【题干】某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产

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A，B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利

400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？

（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

【答案】(1)有三种生产方案，分别为： 方案一：生产A产品30件，生产B产品20件； 方案二：生产A产品31件，生产B产品19件； 方案三：生产A产品32件，生产B产品18件； (2)选择方案三可获利最多，最大利润为19100元

【解析】（1）设生产A产品x件，生产B产品(50x)件，则

7x3(50x)≤2803x5(50x)≤190 解得：30≤x≤32.5．

x为正整数，x可取30，31，32．

当x30时，50x20， 当x31时，50x19， 当x32时，50x18，

所以工厂可有三种生产方案，分别为：

方案一：生产A产品30件，生产B产品20件； 方案二：生产A产品31件，生产B产品19件； 方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；

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（2）方案一的利润为：304002035019000元； 方案二的利润为：314001935019050元； 方案三的利润为：324001835019100元． 因此选择方案三可获利最多，最大利润为19100元

【例题4】

【题干】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.

方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.

方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.

(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；

(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.

【解析】(1)y1=x-0.55x-0.05x-20 =0.4x-20；

y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.

(2)若y1＞y2，则0.4x-20＞0.35x，解得x＞400； 若y1=y2，则0.4x-20=0.35x，解得x=400； 若y1＜y2，则0.4x-20＜0.35x，解得x＜400.

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故当月生产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.

四、课堂运用

【基础】

1．某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14．5万元；每件乙种商品进价8万元，售价lO万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． (1)该公司有哪几种进货方案?

(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?

(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案． 【解析】(1)设购进甲种商品茗件，乙种商品(20-x)件． 190≤12x+8(20-x)≤200 解得7.5≤x≤10．

∵ x为非负整数，∴ x取8，9，lO

有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件

购甲种商品9件，乙种商品ll件 购甲种商品lO件，乙种商品10件 (2)购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润最大利润是45万元 (3)购甲种商品l件，乙种商品4件时，可获得最大利润

【巩固】

1、某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产

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品共40件，生产A，B两种产品用料情况如下表： 设生产A产品x件，请解答下列问题： （1）求x的值，并说明有哪几种符合题意 的生产方案；

（2）若甲种原料50元／kg，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？

7x3(40x)≤226，【答案】 （1）根据题意，得

4x10(40x)≤250. 一件A种产品 一件B种产品 需要甲原料 需要乙原料 7kg 3kg 4kg 10kg 这个不等式组的解集为25≤x≤26.5． 又x为整数，所以x25或26． 所以符合题意的生产方案有两种： ①生产A种产品25件，B种产品15件； ②生产A种产品26件，B种产品14件．

（2）一件A种产品的材料价钱是：750440510元． 一件B种产品的材料价钱是：3501040550元． 方案①的总价钱是：2551015550元． 方案②的总价钱是：2651014550元．

2551015550(2651014550)55051040元．

由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优．

【拔高】

1、我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及

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时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨． （1）共有几种租车方案？

（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元，请选出最佳方案，此方案运费是多少

【答案】共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元．

【解析】（1）设安排甲种货车x辆，乙种货车(6x)辆， 根据题意，得：

4x(6x)≥15x≥3 3≤x≤5 x3(6x)≥8x≤5 x取整数有：3，4，5，共有三种方案． （2）租车方案及其运费计算如下表 方案 一 二 三 甲种车 3 4 5 乙种车 3 2 1 运费（元）

1000370035100 1000470025400 1000570015700

答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元．

五、课程小结

本节课讨论了一次函数与不等式结合方案选择应用题，并且能根据实际问题找出函数关系式。

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六、课后作业

1、双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元。

（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？

（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获得30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售完后，可使总的获得不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？

【解析】（1）设A型号服装每件为x元，B型号服装每件为y元， 根据题意得：9x10y1810

12x8y1880x90 解得

y100 故A、B两种型号服装每件分别为90元、100元。

（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进(2m4)件， 根据题意得：18(2m4)30m699，

2m42819m12 2 解不等式组得

∵m为正整数，∴m＝10，11，12，2m＋4＝24，26，28。

∴有三种进货方案：B型号服装购买10件，A型号服装购买24件；或B型号服装购买11件，A型号服装购买26件；或B型号服装购买12件，A型号服装购买28件

2、为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗。某树苗公司提供如下信息：

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信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。

信息二：如下表：

树苗 每棵树苗批发 价格（元） 杨树 丁香树 柳树 设购买杨树、柳树分别为x株、y株。 （1）写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：

（2）当每株柳树的批发价P等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？ 【解析】（1）y4002x； （2）根据题意得

3 2 P 两年后每棵树苗 对空气的净化指数 0.4 0.1 0.2 .x0.4x0.2(4002x)90，01 x0 y012 / 14

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x100 ∴x0 ∴100x200。

4002x0 设购买树苗的总费用为w1元，即

w13x2x3y5x3(4002x)x1200 ∴w1随x增大而减小，∴当x200时，w1最小。

即当购买200株杨树、200株丁香树，不购买柳树树苗时，能使购买树苗的总费用最低，最低费用为1000元。

3、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

【解析】（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品(50x)件，由题意得：

9x4(50x)360 3x10(50x)290 解得：30≤x≤32

∵x是正整数 ∴x＝30或31或32

∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种

产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。

（2）由题意得；y700x1200(50x)＝500x60000 ∵y随x的增大而减小

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∴当x＝30时，y有最大值，最大值为： 5003060000＝45000（元）

答：y与x之间的函数关系式为：y＝500x60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

七、课后评价

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