2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

高等数学

注意事项：

全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。

1. x0是函数f(x)1121x的 【 B 】

A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 振荡间断点 D. 连续点 2．设函数f(x)(t1)dt, 则f(x)有 【 D 】

0xA. 极大值

1111 B. 极大值 C. 极小值 D. 极小值 22223. 设函数f(x)的导函数为sinx, 则f(x)有一个原函数为 【 A 】 A. 1sinx B. 1sinx C. 1cosx D. 1cosx

xexdx 【 A 】 4. 不定积分(1x)2exexexexC D. C C B. C C. A. 22(1x)(1x)1x1x(1)n15. 无穷级数5p 【 B 】

nn111时, 为条件收敛 B. 当p时, 为绝对收敛 5511C. 当0p时, 为绝对收敛 D. 当0p时, 为发散的

55A. 当p

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题 纸上题号所在的位置。

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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

x2x2,x36. 设函数f(x), 则f(f(1))x31x,3.

x5sin7. 极限limx01x2sinx0.

8. 已知a0，当x0时, eaxax1与1cosx是等价无穷小, 则常数

a1.

dx329. f(t)dt1dx3x2f(x32).

10. 微分方程yy0的通解为y

yC1cosxC2sinx.

三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算 过程.

11．求极限limx0ln(1sin2x)e1x2.

解：limx0ln(1sin2x)ex12sin2xlim1 2x0xxa(tsint)d2y12．设参数方程确定了函数yy(x)，求2.

dxya(1cost)dydydtasintsint解：因为 (4分) dxdxa(1cost)1costdtd2yddy1cost(1cost)sin2t11()所以 (8分) 222dxdxdtdx(1cost)a(1cost)a(1cost)dt13. 求函数f(x)(x10)3(x5)2的单调区间和极值.

125(x1)解：f(x)(x5)(x10)(x5)33 (3分)

33x532当x1时，f(x)0; 当1x5时，f(x)0;当x5时, f(x)0. 所以

f(x)的单调增区间为(,1],[5,);单调减区间为[1,5]; (6分)

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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

23f(x)在x1处取得极大值f(1)96, 在x5处取得极小值f(5)0 (8分)

x2)dx. 14. 求不定积分(xlnx1x23x2)dx 解：(xlnx21x3114lnxdx(1)dx (2分) 241x11 x4lnxx3dxxarctanx (6分)

4411 x4lnxx4xarctanxC (8分)

416 15. 设函数zf((xy),xy), 其中f具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求

2zz和. xyx解：

zf1(xy)yf2y (4分) x

2z(f11(xy)xf12x)(xy)yf1((xy)xy(xy)xy(f21(xy)xf22x)yf2 (8分)

zx216. 求空间曲线在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.

xyz112zt，，t1对应点为(1,1,1) (2分) 3tdxdy3dz因为 1；4；2t

dtdttdt解：曲线方程xt，ydxdydz|t11|t13|t12所以 dt；dt；dt (4分)

所求切线方程为

x1y1z1 (6分) 132法平面方程为 (x1)3(y1)2(z1)0

即 x3y2z0 (8分)

17. 计算二重积分I3x2y2dxdy, 其中积分区域D:x2y29.

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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

解：法一 I3xydxdyD3232220drrdr (4分)

0323352739 (8分) 2rdr2r3|3008422220法二：I3xydxdy43xydxdy42drrdr

DD10323382739 2r3|308418. 计算对坐标的曲线积分(x2xy3)dx(y22xy)dy, 其中L是四个顶点

L分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.

解：设P(x,y)x2xy3，Q(x,y)y22xy，L所围区域为D，且

D：0x2，0y2

由格林公式，得

L(x2xy3)dx(y22xy)dy(DQP)dxdy (4分) xy20 dx(2y3xy2)dy (6分)

02 (yxy)|dx(48x)dx8 (8分)

002232022x展开为麦克劳林级数. 4x2x2解：f(x) (2分) 14x4x19. 将函数f(x)111x11()n21x2n0441(1)n1nxn2n124x1 (6分) 4x4 (8分)

20. 求微分方程y5y6yxe2x的通解. 解：原微分方程所对应齐次方程为

y5y6y0，

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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

它的特征方程为

r25r60

特征根为 r12，r23.于是所给方程对应的齐次方程的通解为

Y(x)C1e2xC2e3x (3分) 设非齐次方程的特解为 y*x(axb)e2x (5分) 代入方程，得

2ax2abx

1解得 a，b1

2所求特解为

1y*x(x1)e2x (6分)

2从而所求非齐次方程的通解为

1y(x)C1e2xC2e3x(x22x)e2x (8分)

2四、证明题和应用题：本大题共2个小题, 每小题10分, 共20分。计算题要有计算过程, 证明题要有证明过程。

21. 设函数f(x)在[a,b]上的连续函数, 且f(x)0

F(x)xaf(t)dtxb1dt, f(t)求证: ① F(x)2;

② 方程F(x)0在(a,b)内仅有一个实根.

证明: ① F(x)f(x)1(f(x)f(x)1)222 (5分) f(x)② 因为F(x)在[a,b]上是单调增加函数, 所以方程F(x)0在(a,b)内最多只有一个根. 又 F(a)abb1dt0, F(b)f(t)dt0 (8分)

af(t)步步高专升本辅导班专用资料 翻印必究

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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

根据零点定理, 方程F(x)0在(a,b)内至少有一个根.

综合以上可知, 方程F(x)0在(a,b)内仅有一个实根. (10分)

22. 求抛物线yx24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.

解：因为 y2x4 (2分) 所以曲线在(0,3)处切线方程为

y34(x0) 即

y4x3

曲线在(3,0)处切线方程为

y02(x3)

即

y2x6 因为两切线交点为(32,3) 所以，所求面积为

3S2[(4x3)(x24x3)]dx303[(2x6)(x24x3)]dx 23 2(4x3)dx33(2x6)dx300(x24x3)dx

23 (2x23x)|20(6xx2)|3213393(2xx3x)|0 234步步高专升本辅导班专用资料 翻印必究

(5分)

(6分)

(8分)

(10分) 6