高等数学(上)课后习题参考答案

高等数学作业答案（14-15-1） 第一章 函数、极限与连续 1.1 映射与函数 1．(1)f（x）与 h（x）相同； g（x）与f（x），h（x）不同． (2)f（x）与 ψ（x）相同； ϕ（x）与f（x），ψ（x）不同． 2．(1) [-(2k+1)π,-2kπ]∪[2kπ,(2k+1)π] k∈N；(2) a≤12时[a，1−a]； a>12为空集．3．(1)x=12arctany3；y=1x2arctan3 (2)x=lny1−y；y=lnx1−x 4．[2kπ,(2k+1)π]，k∈Z 5．（2）ϕ（π6）=12,ϕ（π24）=2,ϕ（2）=0． 6．(1)奇，(2)奇． 7．x≤0或(−∞,0] 8．1 1.2 数列的极限 1．（1）xn→∞n⎯⎯⎯→3；（2）xn→∞n⎯⎯⎯→0； (3) 极限不存在； (4) 极限不存在． 1.3 函数的极限 1．(1) 例：f(x)=⎧⎨1x>0，g(x)=0 ⎩−1x≤0 (2) 例：f(x)=⎨⎧1x>0， ⎩−1x≤0g(x)=⎧⎨−1x>0⎩1x≤0 2．(1) 极限不存在； (2)arctanx⎯⎯⎯x→−∞→−π2， arctanx⎯⎯⎯x→+∞→π2, x→∞时,arctanx的极限不存在； (3) 1+e−x⎯⎯⎯x→+∞→1， 1+e−x⎯⎯⎯x→−∞→∞, x→∞时，1+e−x的极限不存在． 3．limxxx→0x=1， 当x→0时，x左、右极限不一样，极限不存在． 4．不存在 1.4 无穷小与无穷大 1．（1）正确． （2）错．例：当x→0时，x与x2均是无穷小，但商为无穷大． （3）错．例：当x→+∞时，−x和x+1均是无穷大，但其和为有界函数． （4）正确． 2．∞ 3．无界，非无穷大． 1.5 极限运算法则 第1页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） 1、2； 2、0； 3、7； 4、1；5、不存在；6、4x=0，第一类跳跃． 5、a=1，b=e． . 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1； 7、a=1，b=−1 28不一定．如：当x→∞时，x为无穷大，1x2+11、连续区间：(−∞,−3),(−3,2),(2,+∞) 为有界函数，其乘积为有界函数，不是无穷大． 1 ，- 8 ， ∞

1.6 极限存在准则 两个重要极限 1、(1) 1e；(2) a；(3)1；(4) x；(5) 1； (6)1；(7) e-2；(8) 12 2、-1； 3、2． 1.7 无穷小的比较 1、(1)arctanx~x； (2)a=e时等价; a≠e时同阶； (3) 同阶； (4) 同阶． 2、(1)n=6； (2) n=1； (3) m=12，n=2．1.8 函数的连续性与间断点 1、连续 2、 (1)x=2，第一类可去，补充定义-4； x=3，第二类无穷． (2)x=0，x=kπ+π2， 第一类可去， 分别补充定义1,0； x=kπ（k≠0）为第二类无穷； （3）x=0第二类无穷． 3、（−∞，−2），（−2，1），（1，+∞） f（x）⎯x⎯→⎯−2→−1x→13，f（x）⎯⎯→⎯∞. 4、f（0−0）=1，f（0+0）=−1=f（0）, 25． 2、a=4，b=3． 2、(1)ln2+1e+1；(2) 0；(3) 1/2；(4) 1； (5) 0；(6) −sinα．(7)lna 总习题一 1、偶函数． 2、 (1)无极限 (2) 无极限． 4、-1 6、0 7、2x 8、3 9、(1) an； (2)2e (3) 3abc 10、0 11、n=2，a=4 12、x=0第一类跳跃 13、x=±1,第一类跳跃 14、(1) −3；(2) e−1；(3) 4 第二章 导数与微分 2.1 导数概念 1、（1）-20 （2）1 2、（1）f′(0) （2）−f′(x0)（3）2f′(x0) 3、2，-1 4、y−1=x,y−1=−x 2.2 函数的求导法则 1、（1）y′=ln2+2xln2+2x (2)y=-1x(1+x)2 第2页/共10页 高等数学作业答案（14-15-1） (3)y=xcosx−sinxx2 (4)y=(x−2)(x−3)+(x−1)(x−3) +(x−1)(x−2) (5)y=1+cosx+sinx(1+cosx)2 2、（1）-2 （2）24(π2+1) 3. (1)y′=8(2x+5)3(2)y′=3sin(4−3x) (3)y′=−xa2−x2 (4)y′=2sin4x (5)y′=earctanx2x(1+x)(6)y′=12x(1−x)(7)y′=secx (8) y′=nsinn−1x(cosxsinxn+xn−1sinxcosxn) (9)y′=1(x−1)−x 4．(1)y=4(et+e-t)2或1(cht)2 (2)y=xx2+1 5．f(x)f′(x)+g(x)g′(x)f2(x)+g2(x) 6． 5(x−3)4,5x4 7.12f′(0)，注：本题不能用洛必达法则，只能用导数定义。 2.3 高阶导数 4-1−a21. (1)x2 (2)(a2−x2)3 2(3)y=−x(1+x2)3 2．(1)n! (2) (x+n)ex. 3. −4excosx 2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 ay−x21 (1)y−ax. (2)y′=ysinx+cos(x+y)2cosx−cos(x+y) 2. (1)y2−x2y3. (2)2e2. 3. (1)cosθ−θsinθcost−sin1−sinθ−θcosθ (2) tsint+cost 1+t24. 4t 5. （1）xsinx1−ex⎡2⎢1ex⎤⎣x+cotx−2(1−ex)⎥⎦（2）(1+x2)tanx⎡2⎢⎣sec2xln(1+x2)+xtanx⎤1+x2⎥⎦ 2.5函数的微分 1 (1)（2x+ex)sin（2x2+ex)dx. (2)1(1+x2)3dx (3)−2ln（1−x)1−xdx. 2．dx *3. 1.00002 总习题二 1. （1）y′=3cos3x2x−15sinx5+2x⋅sec2(x2) 第3页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） （2）y′=3ex(cosx−sinx)−secxtanx （3）y′=2(1+x2)sinx−4xcosx(1+x2)2cos2x (4)y′=−sec2(1−2x)x (5)y′=−11+x2 (6)y′=1xlnxln(lnx) 3x2+2x(7)y′=ln21(x3+2x)ln2−2xxcos1x (8)y′=arcsinx2 2. 250(−x2sin2x+50xcos2x+12252sin2x) 3. y(n)=2n-1sin(2x+n-12π). 4. 1f′′(t) 5. (tanx)sinx(cosxlntanx+secx)+xx(lnx+1) 6. −2x1+x4dx. 第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 1.提示：首先验证函数满足Lagrange定理的条件，并可求得ξ=2−3∈(1,2), 使f′(ξ)=f(2)−f(1)2−1. 2.方程f′(x)=0有且仅有三个实根,它们分别在区间(0,1),(1,2),(2,3)内. 3.提示：利用反证法. 3.2 洛必达法则 1. 32 2. 112 3. 2 4. 1 5. 1 6. 12f′′(a) 3.3 泰勒公式 1.f(x)=−1ln2−(x−π)−(x−π)2244 +23!sec2ξtanξ(x−π4)3 ,ξ在x,π4之间. 2.xex=x+x2+12!x3+󰀢+1(n−1)!xn+o(xn) 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 2. (−∞,1),(1,+∞)单调增加,(122,1)上单调减少. 3.[−23,23]单调增, (−∞,−23],[23,+∞)单调减. 4. 凸区间(−∞,1],凹区间[1,+∞), 拐点(1,−119) 3.5 函数的极值与最大值最小值 1.[1,e2]单调增,(0,1],[e2,+∞)单调减, 极小值f(1)=0,极大值f(e2)=4e2 2.x=25,x=0 3.最大值为2,最小值为 -2. 4.最小值yx=−2=12 5.x160=3, S(16max3)=151.7 3.6 函数图形的描绘 1. 水平渐近线y=0. 2. 水平渐近线y=0；垂直渐近线x=0. 第4页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） 3.7 曲率 1. 曲率K=2,曲率半径ρ=12. 2. x=π2处曲率最大,为1. 3.8 方程的近似解 1. 1.62109375 总习题三 1.θ=1eΔx−1Δxln(Δx) 2.提示：对函数ϕ(x)=ex在0到b−a之间应用Lagrange中值定理。 4. (1) 1 (2) 0 (3) 52 (4) e2 (5) ∞ 5.(−∞,23a),(a,+∞)单调增,(23a,a)上单调减. 8. a=−3,b=0,c=1 9. f(x0)是极小值 10.h=423R,r=23R 11. 33 高等数学期中自测试题 一、B A D A D 二、1．125 ；2. ln2； 3.−1；4．ysin(xy)−ex+yex+y−xsin(xy) ； 5．f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0). 三、1．f[f(x)]=⎨⎧4+x，x<−2,⎩2，　x≥−2, dytd2y1+t22．dx=2，dx2=−4t. 3．提示：令　f(x)=x−1x−2lnx. 4．的凹区间为[2,+∞]，凸区间为[−∞,2]，拐点为(2,3). 5．23. 四、dy=1(1+lny)xdx. 五、极大值y(0)=0，极小值y⎛⎜2⎞3⎛2⎞23⎝5⎟⎠=−5⎜⎝5⎟⎠.六、f'(x)=⎧⎨(2x−x2)e−xx≤0sinx+xcosxx>0 注：x=0⎩处的导数只能用定义求. 七、a=0,b=−3. 八、提示：设F(x)=f(x)g(x)，对其在[a,b]上运用罗尔中值定理. 九、圆周长x=πa44+π，正方形周长a4+π，两图形的面积和最小. 第四章 不定积分 4.1 不定积分的概念 1. 求下列不定积分： （1）27x−9x3+95x5−177x+C （2）−1x−2lnx+x+C 第5页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） （3）x−2arctanx+C （4）−2cosx−3sinx−xsin5β+C （5）3tanx−x+C （6）12e2x−ex+x+C （7）4cotx2+C 2．y=2lnx−1 3．f(x)={xx,−∞∫1200exdx 4．提示：利用积分中值定理，罗尔定理 5.2 微积分基本公式 1. 0；2.（1）13；（2）0； 3.（1）65512；(2) 2 5.3 定积分的换元法和分部积分法 1. (1) π2;（2）2−233; 2．1; 3.略 4．（1）4π;（2）12e39+9 5、解：设y=tx，则当x≠0时，有 1xx∫0f(y)dy=f(x)+xsinx,f(0)=0；∫x0f(y)dy=xf(x)+x2sinxf(x)=f(x)+xf′(x)+2xsinx+x2cosx,(x≠0) ⇒f′(x)=−2sinx−xcosx。 对上式在[0,x]上积分 f(x)−f(0)=cosx−xsinx−1 故f(x)=cosx−xsinx−1。 5.4 反常积分 第7页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） 1.（1）23ln2;（2）发散 总习题五 1、提示利用罗比达法则求极限 2.计算下列定积分 （1）32;（2）1⎛2⎜4π⎝3−3⎞⎟⎠ 2（3）π4;（4）2⎜⎛1⎞⎝1−e⎟⎠lge （5）π2−1 3. 略 4. 令g(x)=(x−a)2F′(x)，再证g(x)≤0 5. （1）π2;（2）ba2+b2; 第六章 定积分的应用 6.2 定积分在几何上的应用 1．（1）∫22a⎛x2⎞−1(2−x−x)dx（;2）∫0⎜⎝ax−a⎟⎠dx（3）∫lnblnaeydy或 ∫a(lnb−lna)dx+∫b0a(lnb−lnx)dx 2．23; 3. 16π16π15，15; 4. 2(2−1)；π 5. 2π2a; 6. 略 6.3 定积分在物理学上的应用 1.; 2. 14373.33;3. 总习题六 1. 94; 2. 3π+29π−2; 3. 2π2ab; 4. 6πab2⎜⎛6!!8!!⎞32⎝7!!−9!!⎟⎠=πab2105; 5. 54π; 6. h=1−22R 第七章 微分方程 7.1 微分方程的基本概念 1. （1） 一阶；（2）二阶；（3）三阶;(4) n阶 2. （1）不是；（2）略 3. 所求函数为（1）y=xe2x （2） y=−cosx7.2 可分离变量的微分方程 1．（1）10−y+10x=C （2）(ex+1)(ey−1)=C 2．（1）特解为 lny=tanx2 （2）分离变量后两边积分得通解 y2=lnx−1x+1+C 代入初值得C=ln3 y2=lnx−1x+1+ln3 3. y2=x2+1 7.3 齐次方程 1．（1）x2+y2=Cearctanyx （2）lnyx=Cx+1 （3）1y12y2x+4sinx=−lnx+C y2．（1）通解为ex=lnx+C，C=e y特解为ex−e=lnx （2）通解为y3=C(y2−x2) C=1 第8页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） 特解为：y3=y2−x2 7.4 一阶线性微分方程 1.（1）y=(x+C)e−sinx (2) x=Cy3+12y2 (3)y=f(x)−1+Ce−f(x) 2. y=823−3e−3x 3. 322x+ln1+3y=C 4. y=ex−x−1 5. y(x)=ex(x+1) 7.5 可降阶的微分方程 1．（1）y=C1lnx+C2 （2）y=−lncos(x+C1)+C2 （3）y=1−1Cx+C 122．（1）y=e2x （2）y=arcsinx 7.6 高阶线性微分方程 1. y=(C1coskx+C2sinkx)ex 2. y=C1coswx+C2sinwx 7.7 常系数齐次线性微分方程 1．(1) y′′−y=0; (2)p=0q=−1 （3）p=−2,q=2 （4）p=2,q=0 （5）p=0,q=4 （6）p=−2,q=−3 （7）y′′=0 （8）y′′−y′=0 （9）y′′+k2y=0 （10）y=emx 2．（1）x=Ctt1e−2+C−32e （2）y=C1sinx+C2cosx （3）y=e−x(C1cos3x+C2sin3x) （4）x=C−2t1+(C2+C3t)e2t+(C4+C5t)e 3．（1） y=3e−2xsin5x （2）y=⎡⎢cos⎛⎢⎜3⎞3⎛3⎞⎤−1⎜2x⎝2x⎟⎟+3sin⎜⎜2x⎟⎟⎥e ⎣⎠⎝⎠⎥⎦7.8 常系数非齐次线性微分方程 1．BCDBD BBBDC 2．（1）y=C−x1+C2e+ex(x2−3x+72) （2） y=C121cos2x+C2sin2x+(3xcosx+9sinx)3.y=12(ex−e−x)+ex(x2−x) 4.α=−3,β=2,γ=−1; y=Cxxx1e+C2e2+xe 总习题七 一、A BDCAC 二、1．x=at+btlnt, 其中a,b为常数) 2. y′′+k2y=0 3. y′′−y=0 4.y′′−2y′+y=0 5．y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x 6. y=C2x1x+C2e+3 第9页/共10页

高等数学作业答案（14-15-1） 三、1．x=Cesiny−2(siny+1) 2．arcsinyx=lnx+C 3. y=2sinx−2+e1−sinx 4．y=3e−2xsin5x 5．sinx+Ccosx 四、（略） ⎧⎪xf(x)−∫x0f(u)du六、ϕ′(x)=⎪⎨x2 x≠ 0，连⎪⎪A⎩2 x=0续 . 高等数学模拟试题（一） 一、1、A； 2、D； 3、A； 4、C； 5、B。二、1、e−1； 2、ln2+1；3、12； 4、12； 5、arcsinx+π或−arccosx+32π. 三、1、−13；2、y′′(0)=−2； 3、xarctanx−12ln(1+x2)+C 4、18； 5、y=1sinx[−5ecosx+1] 四、1、12e； 2、π8； 3、设f(x)=2(1+x)ln(1+x)−2x(x+1)+x2，由单调性可证. 五、f(x)=3x−31−x2 或f(x)=3x−31−x22. 六、圆锥高为y=4R3，底半径为x=22R3时， 其体积最大. 高等数学模拟试题（二） 一、1、B；2、A；3、A；4、C；5、C. 二、1、−3；2、−A；3、 2； 4、12F(2x+1)+C；5、12. 三、 1． y(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1 在点(0,1)处的法线方程为y=−x+1. dy2．dydx=ddtx=−sint2t dtd2yd⎛dy⎞ddx2=dt⎜⎝dx⎟⎠⋅tdx =sint−tcost4t3 3．114 4．e23x−xx4−4 5．y=C1e2+C2e+e 四、1、令f(x)=x⋅2x−1，由于f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=−1<0，f(1)=1>0，由零点定理知，即方程x⋅2x=1至少有一个小于1的正根 2．令f(x)=1+x−21+x 3、π2 五、 1、f(x)=2x 2． y=−233x+43 第10页/共10页