指数函数复习专题(含详细解析)

第 讲 指数函数

时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

1．在区间

上为增函数的是（ B ）

A．2．函数A．

B． C． D．

是单调函数时，的取值范围 （ A ）

B．

C ．

D． 有 （ A ）

3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 4．函数

，

是（ B ）

有关

那么（ D ）

A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与5．函数A．6．函数A．

在

和 B．在区间

是增函数，则

C．

都是增函数，若

C．

，且

D．无法确定

的递增区间是 （ B ）

D．

B．

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

1

三、方法培养

☆专题1：指数函数的定义

一般地，函数ya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

x例1

指出下列函数那些是指数函数：

（１）y（7）y4x（２）yx4（３）yx4x （４）y(4)x（５）

yx（6）y4x2xx（８）y(2a1)(a1,a1) 2解析：利用指数函数的定决这类问题。 解：（１），（５），（８）为指数函数

变式练习1 1函数y(a3a3)a2x是指数函数，则有（ ）

Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且a1 答案:C 2. 计算:6133430.0625(5)021; 48解：(1)61133430.0625(5)021 48112522731=()+()+(0.062 5)4+1- 48245213331=()×+()+(0.5)4+ 222211=

531++0.5+ 222

=5;

☆专题2：指数函数的图像与性质

一般地,指数函数y=a在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1 0＜a＜1 x

图象 2

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

①定义域：R ②值域：（0,+∞） 性质 ③过点（0,1）,即x=0时y=1 ④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1 在同一坐标系中作出y=2和y=(轴对称.

x

④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1 1x

)两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y2

图2-1-2-3

例3比较下列各题中的两个值的大小:

（1）1.7与1.7; (2)0.8与0.8; (3)1.7与0.9. 利用函数单调性,

2.53x

①1.7与1.7的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数

x2.53

y=1.7在R上是增函数,而2.5<3,所以1.7<1.7；

-0.1-0.2x

②0.8与0.8的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,

x-0.1-0.2

所以函数y=0.8在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8<0.8；

0.33.10.33.1

③因为1.7>1,0.9<1,所以1.7>0.9..

2.5

3

-0.1

-0.2

0.3

3.1

变式练习3

1.已知a=0.8,b=0.8,c=1.2,按大小顺序排列a,b,c.

答案：bx

2. 若指数函数y=（2a－1）是减函数,则a的范围是多少？ 答案：

0.7

0.9

0.8

1＜a＜1. 24x3. 设m<1,f(x)=x,若042(1)f(a)+f(1-a)的值; (2)f(1231000)f()f()f()的值. 1001100110011001活动：学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决.

4a444a4441a解：(1)f(a)+f(1-a)=a=a=a 44242424242•4a4a2a1aa—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

3

4a24a2=a=a=1. a4224421231000)f()f()f() 1001100110011001110002999500501=［[f()f()][f()f()][f()f()]

100010011000100110011001(2)f(=500×1=500.

☆专题3：求函数的定义域与值域 例4

求下列函数的定义域 （１）y21x4 （2）y5x1

解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。 解（１）：令ｘ－４０，得ｘ４， 故定义域为（－，４）（４，＋） （2）：

x10,x1,

所以y5x1的定义域为{xx1}

点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式练习4

求下列函数的定义域和值域: (1)y=(

112xx22x1;(3)y=ax-1(a>0,a≠1). );(2)y=392112xx2112x1的定义域是)的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=3［,+∞）,9222答案：(1)函数y=(

值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0四、强化练习

1. 下列关系中正确的是( )

1121111A.()3<()<()3 B.()3<()3<()3

2512225111111C.()3<()3<()3 D.()3<()3<()3

522522答案：D

x

2.函数y=a(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有( )

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

4

21222121122

A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C

x

3.函数y=a+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________. 答案：（-5,2）

4.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.

答案：分a＞1和0a;当a>1时,a131213121312五、训练辅导

☆专题4：函数图像的平移

当m>0时,y=a的图象向左移动m个单位得到y=a的图象;

xx+m

当m<0时,y=a的图象向右移动|m|个单位得到y=a的图象. 上述规律也简称为“左加右减”.

x

x+m

例4为了得到函数y=2

x-3

-1的图象,只需把函数y=2的图象( )

x

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

变式练习5

2xb1.已知定义域为R的函数f(x)=x1是奇函数.

2a（1）求a,b的值；

22

（2）若对任意的t∈R,不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立,求k的取值范围.

活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化. （1）解：因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0,即

b1=0b=1, a212x所以f(x)=;

a2x11122a=2. 又由f（1）=-f（-1）知=a4a1112x11（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 22x122x1——————————————————————————————————————————————————

摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

5

又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t-2t)+f(2t-k)<0,

222

等价于f(t-2t)<-f(2t-k)=f(k-2t),因f(x)为减函数,由上式推得： 222

t-2t>k-2t,即对一切t∈R有3t-2t-k>0, 从而判别式Δ=4+12k<0, ∴k<22

1. 32xa22. 已知定义在R上的函数f(x)x1（a为实常数）是奇函数，g(x)2(xx)；

22（I）求a的值，判断并证明函数f(x)的单调性；

（II）若对任意的t1,4，不等式f(g(t)1)f(8tm)0（m为实常数）都成立，求m的取值范围；

六、家庭作业布置：

家长签字：_________________

（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

6

附件：堂堂清落地训练

1.函数y=a（a＞1）的图象是（ ）

|x|

（坚持堂堂清，学习很爽心）

y

y

图2-1-2-8

|x|x

分析：当x≥0时,y=a=a的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数. 答案：B

2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（ ）

12-xxx2xA.y=() B.y=1-4 C.y=0.5-1 D.y=2+1

312－xxx2分析：因为（2－x）∈R,所以y=（）∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5x-1∈［0,+∞);y=2+1∈

3［2,+∞). 答案：A

x

3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2）的定义域是（ ） A.（0,1） B.（

x

1,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞） 2x

0

分析：由题意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）. 答案：C

x2

4.若集合A={y|y=2,x∈R},B={y|y=x,x∈R},则（ ）

A.AB B.AB C.A=B D.A∩B= 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB. 答案：A

x

5. 已知0x

322,则a的取值范围是 。0y

x-y

2．若10=3,10=4,则10= 。

33 43．化简5xx3x55x×2

xx3= 。1

x101 4．函数y=的定义域是 。(-,0)(0,1) (1,+ ) x,联立解得

xx151510x1x0,且x1。

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

7

5．函数y=3

U

23x2的单调递减区间是 。（0，+）

U

223x令y=3,U=2-3x, ∵y=3为增函数，∴y=33的单调递减区间为[0，+）。

2

2x-132×2-1

6．若f(5)=x-2,则f(125)= . 0 f(125)=f(5)=f(5)=2-2=0。

7.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)xx2>0;④f(1. )<

x1x2x1x22x

当f(x)=10时,上述结论中正确的是.

分析:因为f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x

x1x2=10x1•10x2=f(x1)·f(x2),所以①正确;

因为f(x1·x2)=10x

x1•x2≠101102=f(x1)+f(x2),②不正确;

xx因为f(x)=10是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以

x

f(x1)f(x2)>0,所以③正确.

x1x2因为函数f(x)=10图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图2-1-2-9

答案：①③④ 另解：④

10x110x210x110x2x1x2xx∵101>0,10>0,x1≠x2,∴>10•10∴>1012,

22x

x

2

10x110x2即>102三、解答题

x1x22∴

f(x1)f(x2)xx2). >f(1x1x221． 设02x23x1>a

x22x5。

∵0x

2x23x1>a

x22x5, ∴2x-3x+122

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

8

2． 已知x[-3,2]，求f(x)= 解：

111的最小值与最大值。 4x2x11131xx2xxx, ∵x[-3,2], ∴142121(2)28.则当xx244423-x1-x

2=,即x=1时,f(x)有最小值；当2=8,即x=-3时，f(x)有最大值57。

24.f(x)=

ax1(a1), (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R3.已知函数f(x)=xa1上的增函数。

ax11axf(x),(x)是奇函数； 解：．（1）∵定义域为xR,且f(-x)=xxa11aax1222x1,∵a11,02,即f(x)的值域为（-1，1）（2）f(x)=；

ax1ax1ax1ax11ax212ax12ax2（3）设x1,x2R,且x1a1ax21(ax11)(ax21)a1xx2) ∴f(x)是R上的增函数。

1x22x)的单调区间,并证明. 22（2）设a是实数,f(x)=ax(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.

211x2

活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()与y=x-2x的复合函数,（2）函数单

28.（1）求函数y=(

调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

12()x22x2y21x22x122x22x11(x2x1)(x2x12)2解法一：设x11x212x1y122()2因为x10.

当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0, 即

y2>1,所以y2>y1,函数单调递增; y1当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 即

y2<1,所以y2—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减. 解法二：（用复合函数的单调性）： 设u=x-2x,则y=(

2

1u

), 21u

)是减函数, 2对任意的11x22x)在［1,+∞）是减函数. 21u

对任意的x1u2,又因为y=()是减函数,

21x22x所以y121x22x引申：求函数y=()的值域（02点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.

（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法. 证明：设x1,x2∈R,且x122222(2x12x2))(ax)=xxf(x1)-f(x2)=(ax=x. x211221221211(211)(221)由于指数函数y=2在R上是增函数,且x1xxxx

所以21<22,即21-22<0.

xxx

又由2>0得21+1>0,22+1>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数.

x

—————————————————————————————————————————————————— 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

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