高三数学每日一题试题及答案136.周末培优

136周末培优

【典例】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校2015—2016学年高二年级

每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．

分数段 男 女 [40，50) 3 6 [50，60) 9 4 [60，70) 18 5 [70，80) 15 10 [80，90) 6 13 [90，100] 9 2 （1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；

2列联表，并判断是否有90%以上的把（2）规定80分以上者为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×握认为“数学成绩与性别有关”．

男生 女生 合计 优分 非优分 合计 100 n(adbc)2参考公式：K．

(ab)(cd)(ac)(bd)2

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【练习】1．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：

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学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 附表：

使用智能手机 不使用智能手机 4 16 20 8 2 10 合计 12 18 30 P(K2k0) 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算K210，则下列选项正确的是

A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

2．某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间，随机收集了若干位学生每周使用手机上网的时间的样

本数据（单位：小时），将样本数据分组为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，绘制了如下图所示的频率分布直方图，已知[0,2)内的学生有5人．

（1）求样本容量n，并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间；

（2）将使用手机上网的时间在[4,12]内定义为“长时间看手机”；使用手机上网的时间在[0,4)内定义为“不长时间看手机”．已知在样本中有25位学生不近视，其中“不长时间看手机”的有15位学生．请将下面的22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．

长时间看手机 近视 不近视 合计 公众号：小升初数学压轴题天天练

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不长时间看手机 合计 2 15 25 n(adbc)2,nabcd． 参考公式和数据：K(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k0) 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0

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【参考答案】（1）男生的平均分为71.5，女生的平均分为71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关；（2）列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得22列联表如下：

男生 女生 合计 优分 15 15 30 非优分 45 25 70 合计 60 40 100 100(15251545)2可得K1.79，

604030702因为1.792.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足adbc0. |adbc|越小，说明【解题必备】1．在2×

两个变量之间关系越弱；|adbc|越大，说明两个变量之间关系越强. 2．解独立性检验的应用问题的关注点

（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题. 2列联表；②准确理解K2. （2）两个关键：①准确画出2×

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1．【答案】A

【解析】因为K2107.879，对照表格得：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选A．

2．【答案】（1）n100，该校学生每周平均使用手机上网的时间约为5.8小时；（2）列联表见解析，在犯

错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．学科^网

（2）由题可得样本中“不长时间看手机”的学生有50.1210025位， 由此可得补充完整的22列联表如下：

长时间看手机 不长时间看手机 合计 2近视 65 10 75 不近视 10 15 25 合计 75 25 100 100(65151010)2因此K的观测值k21.77810.828，

75257525所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．

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