初中二次函数知识点详解最新助记口诀

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。

yax2a不为零

bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于xb2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：yaxbxc(a,b,c是常数，a0)

（2）两根 当抛物线yaxbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax222bxc0有

实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2)，二次函数

yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。

2a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：ya(xh)k(a,h,k是常数，知识点八、二次函数的最值

2a0)

b2a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当xy最值4acb4a时，

。

b2a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看若在此范围内，则当x=b2a是否在自变量取值范围x1xx2内，

时，y最值4acb4a2；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范

2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y最大ax2bx2c，当xx122时，y最小ax1bx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax1bx1c，2当xx2时，y最小ax2bx2c。

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知识点九、二次函数的性质

1、二次函数的性质 函数 a>0 y 图像 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； bb（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a4acb4a2二次函数 yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； bb（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a4acb4a2）； b）； b（3）在对称轴的左侧，即当x<性质 2a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当bx>时，y随x的增大而增大，简记左减2a右增； b2a时，y随x（3）在对称轴的左侧，即当x<2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>时，y随x的增大而减小，简记左2a增右减； b2a时，y随（4）抛物线有最低点，当x=值，y最小值4acb4a2时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=大值，y最大值4acb4a2时，y有最 22、二次函数yaxbxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

b b与对称轴有关：对称轴为x=2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

2因此一元二次方程中的b4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。

2

知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为

x1x22y1y2 A 2

0 x B

2，二次函数图象的平移

2① 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

② 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

③平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有

很大帮助，可以大大节省做题的时间）

特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)

说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

3、直线斜率：

ktany2y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程： x2x1y2y1x2x14、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:

yy1kxb(tan)xbx(xx1) 此公式有多种变形 牢记

②点斜 yy1kx(xx1)

③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)

④截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：

3

xayb1

牢记 口诀 ---

两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距

5、设两条直线分别为，l1：yk1xb1 l2：yk2xb2 若l1//l2，则有l1//l2k1k2且b1b2。 若llkk1

1212

6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d

kx0y0bk2(1)2kx0y0bk2

1

7、抛物线yax2bxc中， a b c,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xb2a，故：①b0时，对称轴为y轴；②

ba0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

③

ba0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. 口诀 --- 同左 异右

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴； ③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

ba0.

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