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《三角函数》
应用
弧长公式 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 应用 计算与化简 证明恒等式 应用 任意角的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 应用 已知三角函 数值求角 和角公式 应用 应用 倍角公式 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制
1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为
k 360k Z
x 轴上角： k 180k Z y 轴上角： 90 k 180k Z
3、第一象限角：
0 k 360
90 k 360k Z
第二象限角：
90 k 360 180 k 360k Z 180 k 360 270 k 360k Z 270 k 360 360 k 360k Z
第三象限角：第四象限角：4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：锐角：
0 k 360
90 k 360k Z
小于90 的角：
0 90 90
5、若为第二象限角，那么 为第几象限角？
2
k k
4 2 2
2k 2k
2
k 0,所以 在第一、三象限
, 4 2
5 k 1, 4
3 , 2
2
6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .
180 1 57.30 57187、角度与弧度的转化：1 0.01745
180
8、角度与弧度对应表： 角度 弧度 00 304560901202 3 1353 4 1505 6 1803602 6 4 3 2 9、弧长与面积计算公式 弧长： l
1 1
R ；面积： S l R
2 2 y
x
R2 ，注意：这里的
均为弧度制.
二、任意角的三角函数 1、正弦： sin；余弦cos；正切tan
r r
y x
其中 x, y 为角终边上任意点坐标， r x2 y2 .
2、三角函数值对应表：
度 00 304560901202 3 1353 4 1505 6 1802703603 2 弧度 6 4 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 tan 3 2 2 2 0 3 0 1 2 1 0 3 3 1 3 无 3 1 3 0 0 无 3 3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全 s t c”）
sin tan cos
第一象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0, 第二象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0, 第三象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0, 第四象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
4、三角函数线
设任意角的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P (x, y) ， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角延长线交于点 T.
的终边或其反向
y P M y P A x T （Ⅱ）T o o A x M （Ⅰ）
y T A x y M A M o o x P （Ⅲ） P T （Ⅳ） y y x x
y MP ， cos x OM r 1 r 1 ， y MP AT
tan AT ．
x OM OA
我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x, MP y ，于是有
5、同角三角函数基本关系式
sin2tan
cos2
1
cot
1
sin
tancos
(sin cos)2 1 2 sincos
(sin cos)2 1 2 sincos
( sin
cos， sin cos， sin• cos
，三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
n口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是 2
中整数 n 的奇偶性，把看作锐角)
n n
2 2
n n (1)sin, n为偶数 (1)co s, n为偶数
sin( 2 ) ； co s( 2 ) . n1 n1 (1) 2 (1) 2
co s, n为奇数 sin, n为奇数
①.公式（一）：
与
2k
, k Z 2k) cos
； tan(
sin( 2k) sin
②.公式（二）：
； cos(与
2k) tan
sin sin sin
； cos与
cos
； tan tan
③.公式（三）：
sin ； cos与
cos cos
； tan tan tan
④.公式（四）：
； tan
sin sin； cos与
⑤.公式（五）：
2
sin cos； cos sin；
2 2
⑥.公式（六）：与
2
sin cos； cos sin；
2
2
3 ⑦.公式（七）：与
2
3 3 sin cos； cos sin；
2 2
⑧.公式（八）：与
3
2
3
sin cos
2
； cos
3
sin2
；
三、三角函数的图像与性质
1、将函数 y sin x 的图象上所有的点，向左（右）平移 个单位长度，得到函数 y sin x 数 y sin x
的图象；再将函
x ，得到函数 y sin 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变）
的图象；再将函数 y sin x ，得到函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A 倍（横坐标不变）
y Asin
x
的图象。
A 0,
2
0 的性质：
1
；④相位：x ；⑤初相：。
；③频率： f
T 2
2、函数 y Asin x
①振幅： A ；②周期： T
3、周期函数： 一般地， 对于函数 f x ， 如果存在一个非零常数 T ， 使得定义域内的每一个 x 值， 都满足
f x T f x ，那么函数 f x 就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期.
4、⑴ y Asin(x )
对称轴：令对称中心：x k，得 x
2
k k
( ， x k
，得 x
k 2 Z ) ；
k k，得 x ⑵ y A cos(x ) 对称轴：令x
k k 2 2 ，得 x ， ( 对称中心：x k
2
⑶周期公式:
,0)(k
；
,0)(k Z ) ；
2
①函数 y Asin(x ) 及 y A cos(x ) 的周期T
②函数 y A tan
(A、ω、为常数，且 A≠0).
x
的周期T
5、三角函数的图像与性质表格 函 数性质
(A、ω、为常数，且 A≠0).
y sin x y cos x y tan x 图像 定 义 域 值 域 R R x x k , k Z 2 R 1,1当 x 2k1,1当 x 2k 2 k Z 时， k Z 时， ymax 1；当 x 2k 最值 ymax 1； 当 x 2k 2 既无最大值也无最小值 k Z 时， k Z 时， ymin 1． ymin 1． 周 期 性 奇 偶性 2 2 奇函数 偶函数 奇函数 在 2k, 2k2 2 单调性 在 2k, 2kk Z k Z k Z 上是增函数； 3 在 2k, 2k2 2 在2k上是增函数； 在 k , k 2 2 , 2kk Z 上是增函数． 上是减函数． k Z 上是减函数． 对称性 对称中心k对称轴 x k对称中心 , 0k Z 2 k Z k , 0 k Z 2 对称轴 x k k 对称中心 , 0 k Z 2 无对称轴 k Z 、、
6. 五点法作 y Asin(x ) 的简图，设t x ，取 0、 再描点作图。
7. y Asin(x ) 的的图像
32
、 2来求相应 x 的值以及对应的 y 值
2
8. 函数的变换：
（1） 函数的平移变换
① y f (x) y f (x a)(a 0) 将 y f (x) 图像沿 x 轴向左（右）平移 a 个单位 （左加右减）
② y f (x) y f (x) b(b 0) 将 y f (x) 图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
（2） 函数的伸缩变换：
1 w
① y f (x) y f (wx)(w 0) 将 y f (x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
倍（ w 1 缩短，
0 w 1伸长）
② y f (x) y Af (x)( A 0) 将 y f (x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（ A 1 伸长，
0 A 1缩短）
（3） 函数的对称变换：
① y f (x) y f (x) ) 将 y f (x) 图像绕 y 轴翻折 180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于 x 轴对称）
② y f (x) y f (x) 将 y f (x) 图像绕 x 轴翻折 180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于 y 轴对称）
③ y f (x) y f ( x ) 将 y f (x) 图像在 y 轴右侧保留，并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧（偶函数局部
翻折）
④ y f (x) y f (x) 保留 y f (x) 在 x 轴上方图像， x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去（局部翻动） 四、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1） sin( ) sincos sincos
(2） sin( ) sincos sincos
(3） cos( ) coscos sinsin
(4） cos( ) coscos sinsin
(5） tan( )
tan tan
1 tantan
tan tan tan 1 tantan
(6） tan( )
tan tan
1 tantan
tan tan tan 1 tantan
(7) a sin
b cos= a2 b2 sin() (其 中 ,辅 助 角 所 在 象 限 由 点 sinb a2 b2 , cosa , tan b
a2 b2 a ，该法也叫合一变形).
(8)
1 tan 1 tan 1 tan tan( 4 ) 1 tan tan( 4
)
2. 二倍角公式
（1） sin 2a 2sin a cos a
（2） cos 2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a 1
tan 2a
2 tan a
（3） （
1 tan2 a 3
）
3. 降幂公式：
1
（2） （1）
cos2 a
cos 2a
2 sin2 a 1 cos 2a
2
4. 升幂公式 （1）1 cos 2 cos2
（2）1 cos 2 sin 2 2
2
（3）1 sin (sin cos )2
（4）1 sin 2 cos2
（5） sin
2 sin 2 2
2 cos 2
5. 半角公式（符号的选择由
2
所在的象限确定）
sin a
1 cos a
cos a
1 cos a ，
（1） 2
2 ，
（2） 2
2 (a, b) 所 在 的 象 限 决 定 ,
a tan 1 cos a sin a 1 cos a
sin a 1 cos a 1 cos a （3） 2
6. 万能公式: （1） sin
2 tan
2 ,
1 tan2 2 2 tan
2 . 1 tan2
2
（2） cos
1 tan2
2 , 1 tan2
2
（3） tan
7. 三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、 化简的方法技能。
（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：
a sin b cos
a2 b2 sin() 其 中
cos
a a2 b2
,sin
b a2 b2 ，
比 如 ：
y sin x 3 cos x
13
12 ( 3)2 ( sin x cos x)
22221 ( 3) 1 ( 3)
1
2( sin x 3 cos x) 2(sin x cos cos x sin ) 2 sin(x )
3 3 3 2 2 （3）注意“凑角”运用： ，
，
3 3 12
， sin( ,) , sin( ) 例如：已知、( ) ，则cos() ?
4 5 4 13 4
（4） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“
1
2
sin 2
cos2
”
（5） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：
1 cos a 常用升幂化为
有理式。
（6） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（7） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（8） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方
法去解题目。
（10） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： sin a cos a ， sin a cos a
sin a cos a ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
8. 函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
① y a sin x b （或 a cos x b) 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
② y a sin x b cos x 型：引进辅助角化成 y a2 b2 sin(x
) 再利用有界性
③ y a sin2 x b sin x c 型：配方后求二次函数的最值，应注意 sin x 1的约束
a sin x b
④ y
c sin x d
型：反解出sin x ，化归为 sin x 1解决
⑥ y a(sin x cos x) b sin x cos x c 型：常用到换元法： t sin x cos x ，但须注意 t 的取值范围：
t 2 。
9. 三角形中常用的关系：
sin A sin(B C) ，
cos A cos(B C) ， cos 2 A cos 2(B C)
sin 2 A sin 2(B C) ，
A B C sin cos ，
2 2
常见数据： sin15 cos 75 10.
6 ,sin 75 cos15 6 ，
2 2 4 4
tan15 2 3 , tan 75 2 3 ,
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