一、选择题
1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x y
… …
0 ﹣3
1 0
2 ﹣1
3 0
4 3
… …
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A．
B．
C．
D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF． 根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE＝CD； ②BC＝BE＝BF； ③S四边形CDFB＝CF•BD； ④∠BCF＝∠BCE．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
AC＝BC，DE⊥AD交BC于点E．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC的中点，若AC＝1，则△BDE的面积为（ ）
A． B． C． D．
]﹣[]，[x]表
4．对于正整数k定义一种运算：f（k）＝[]﹣[]，例：f（3）＝[
示不超过x的最大整数，例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．则下列结论错误的是（ ） A．f（1）＝0 C．f（k+4）＝f（k）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
5．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ ．
B．f（k）＝0或1 D．f（k+1）≥f（k）
6．若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在直线y＝若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为 ．
x上，
8．对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y为友好整数组，记作＜x，y＞，＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组 ，这样的友好整数组一共有 组．
三、解答题（本题共68分，第9，10题，每小题6分，第11～17题，每小题6分） 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0． （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足
+
＝，求k的值；
x2，（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、求Rt△ABC的内切圆半径．
10．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．
11．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ； ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为 ； （3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
12．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
13．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标． （2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x． （3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
14．对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n＝（1）计算：3∧（﹣1）；
．
（2）若m＝|x﹣1|，n＝|x+2|，求m∧n（用含x的式子表示）； （3）若m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3，m∧n＝﹣2，求x的值．
15．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象． （1）点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上，求m的值； （2）点B（n，2）在函数y＝﹣x2+4x的变换图象上，求n的值；
1）（3）将点C（﹣，向右平移5个单位长度得到点D．当线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t的变换图象有两个公共点，直接写出t的取值范围．
16．在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF＝α，∠ECF＝β，连接BE，EF，FD．
（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0）．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．
（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为 ， ； （2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）； （3）已知点B（﹣
，t），C（
，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半
圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题4分）第1-4题符合题意的选项只有一个，答案填写在右边表格中．
1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x y
… …
0 ﹣3
1 0
2 ﹣1
3 0
4 3
… …
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点坐标为（2，﹣1），于是可判断抛物线的开口向上，则x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，然后可判断A选项错误． 解：∵x＝1和x＝3时，y＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，
∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0， ∴x＝0，y＝﹣3错误． 故选：A．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE＝CD； ②BC＝BE＝BF； ③S四边形CDFB＝CF•BD； ④∠BCF＝∠BCE．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
【分析】①由作图过程可得，CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，可以证明△BCD≌△BFD，根据全等三角形的性质进而可以判断； ②根据BC≠BE，即可判断；
③根据S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD即可判断；
④根据△BCE与△BCF不全等，∠BCE≠∠BCF，即可判断． 解：如图，连接CF，交BD于点H，
由作图过程可知：
CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，
设CE与AB交于点Q， ∴∠CQA＝∠DFA＝90°， ∴CQ∥DF， ∴∠CED＝∠FDE， ∵BD是∠CBF的平分线， ∴∠CBD＝∠FBD， ∵∠BCD＝∠BFD＝90°， BD＝BD，
∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴∠CDB＝∠FDB， ∴∠CDB＝∠CED， ∴CE＝CD， 所以①正确；
∵△BCD≌△BFD（AAS）， ∴BC＝BF， 但是BC≠BE， ∴②不正确；
∵S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD ＝BD•CH+BD•FH ＝CF•BD． ∴③正确；
∵△BCE与△BCF不全等， ∴∠BCE≠∠BCF， ∴④不正确．
所以正确结论的序号为①③． 故选：B．
AC＝BC，DE⊥AD交BC于点E．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC的中点，若AC＝1，则△BDE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，根据勾股定理得到AD＝
＝
的性质得到AE＝
，过D作DH⊥AB于H，求得DH＝
＝
BD＝
，根据相似三角形
，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∵点D是BC的中点，AC＝1， ∴CD＝BD＝，AB＝∴AD＝
＝
， ，
过D作DH⊥AB于H， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH＝∴AH＝
BD＝
， ＝
＝
∵∠EDH+∠DEH＝∠EDH+∠ADH＝90°， ∴△ADH∽△AED， ∴
＝
， ＝
， ，
×
＝
，
∴AE＝
∴BE＝AB﹣AE＝∴△BDE的面积＝故选：A．
4．对于正整数k定义一种运算：f（k）＝[]﹣[]，例：f（3）＝[]﹣[]，[x]表
示不超过x的最大整数，例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．则下列结论错误的是（ ） A．f（1）＝0 C．f（k+4）＝f（k）
B．f（k）＝0或1 D．f（k+1）≥f（k）
【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 解：A、f（1）＝[
]﹣[]＝0﹣0＝0，故选项A正确，不合题意；
B、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以B选项的结论正确，不合题意； C、f（k+4）＝[正确，不合题意；
D、当k＝3时，f（3+1）＝[合题意； 故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
5．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ π﹣3 ．
]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项D错误，符
]﹣[
]＝[
+1]﹣[+1]＝[
]﹣[]＝f（k），故选项C
【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论． 解：∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝π，
∴圆的内接正十二边形的中心角为∴过A作AC⊥OB， ∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3， ∴则S﹣S1＝π﹣3， 故答案为：π﹣3．
＝30°，
6．若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是 c＜﹣2 ．
【分析】由已知可知一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点，则有x2+2x+c＝x，可得△＝1﹣4c＞0，再由已知，当x＝1时，3+c＜1，由此可求c的取值． 解：∵点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上， ∴一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点， 则有x2+2x+c＝x， ∴△＝1﹣4c＞0， ∴c＜， ∵m＜1＜n，
∴当x＝1时，3+c＜1， ∴c＜﹣2， ∴c＜﹣2， 故答案为c＜﹣2．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），点P在直线y＝若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为 （1，2
）或（2，2
） ．
x）有三种类型：①∠APB＝90°，②∠PAB＝90°，
）或（﹣1，﹣
x上，
）或（﹣2，﹣
【分析】设P点的坐标是（x，
③∠ABP＝90°，根据点的坐标和勾股定理求出x即可． 解：∵点P在直线y＝∴设P点的坐标是（x，有三种类型：
x上， x）
①如图1，
当∠APB＝90°时，
∵A（﹣2，0），B（2，0），P（x，∴由勾股定理得：AP2+BP2＝AB2， 即（﹣2﹣x）2+（0﹣解得：x＝±1，
即此时点P的坐标是（1，
）或（﹣1，﹣
）；
x）2+（x﹣2）2+（
x﹣0）2＝（2+2）2， x），
②如图2，当∠PAB＝90°时，
∵A（﹣2，0），B（2，0），P（x，∴P点的横坐标是﹣2，纵坐标是﹣2
x），
，即点P的坐标是（﹣2，﹣2
）；
③当∠ABP＝90°时， 点P的坐标是（2，2故答案为：（1，
），
）或（﹣2，﹣2
）或（2，2
）．
）或（﹣1，﹣
8．对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样的x，y为友好整数组，记作＜x，y＞，＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组 ＜7，42＞ ，这样的友好整数组一共有 9 组．
【分析】由友好整数组的定义和x，y为整数及数的整除性，分析计算可得答案． 解：由已知可得若为为友好整数组，则xy≠0，且xy＝6（x+y） ∴（x﹣6）y＝6x，显然当x＝6时该等式不成立， ∴x≠6 ∴y＝
＝
＝6+
∵y是整数 ∴
是整数
∴当x﹣6＝1，即x＝7时，y＝42，故＜7，42＞是一个友好整数组． ∵x，y是整数 ∴
是整数，且x﹣6是整数
∵xy≠0，且＜x，y＞与＜y，x＞视为相同的友好整数组． ∴x﹣6＝±1或±2或±3或±4或﹣6，
∴这样的友好整数组一共有2+2+2+2+1＝9（组）． 故答案为：＜7，42＞；9．
三、解答题（本题共68分，第9，10题，每小题6分，第11～17题，每小题6分） 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0． （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足
+
＝，求k的值；
x2，（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、求Rt△ABC的内切圆半径．
【分析】（1）根据根的判别式△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；
（2）由题意得到x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，代入，解方程即可得到结论；
（3）解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得到x1＝4，x2＝k，根据题意根据勾股定理列方程得到k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，根据切线长定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0， ∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k， ∵
，
∴，
即，
解得：k＝2；
（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k， 根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，
设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图， 由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5， ∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝
．
10．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．
解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D， 由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°， 则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米， ∵tan∠BQD＝∴tan14°＝即0.25＝
， ， ，
解得，ED＝18， ∴AC＝ED＝18， ∵BC＝7.5， ∴tan∠BAC＝
＝
，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°， ∴AB＝
＝19.5，
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．
11．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这
三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝
；
＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为 ﹣2≤x≤4 ； （3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
【分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可． （2）根据不等式解决问题即可． （3）构建方程即可解决问题． （4）把问题转化为不等式组解决即可． 解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝； 故答案为：，．
（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5， ∴
，
解得﹣2≤x≤4， 故答案为﹣2≤x≤4． （3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2， ∴
＝2，
解得x＝﹣1或3．
（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}， 又∵∴
＝x+1， ，
解得1≤x≤1， ∴x＝1．
12．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
【分析】直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出AB的长，再利用勾股定理得出答案．
解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴AC为直径． ∴∠ADC＝90°． ∵AE＝DE，DE⊥AB， ∴∠DAB＝∠ADE＝45°． ∴∠BCF＝∠DAB＝45°． ∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°， ∴EF＝ED＝1． ∴AB＝5． ∴AC＝∴⊙O半径的长
＝．
．
13．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标． （2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x． （3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可；
（3）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解； （4）由（3）可得．
解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点（x，y）在第一象限， 故答案为：一； （2）图象如下所示：
（3）①在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0， ∵△＝m2﹣4×4，
∴0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8； 2个交点时，m＞8； （4）由（3）得：m≥8， 故答案为：m≥8．
14．对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n＝（1）计算：3∧（﹣1）；
（2）若m＝|x﹣1|，n＝|x+2|，求m∧n（用含x的式子表示）； （3）若m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3，m∧n＝﹣2，求x的值． 【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可；
（2）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算； （3）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算即可． 解：（1）3∧（﹣1）＝
＝
＝3
．
（2）当x≤﹣2时，m＝1﹣x，n＝﹣x﹣2； m∧n＝1﹣x；
当x≥1时，m＝x﹣1，n＝x+2； m∧n＝2+x； 当﹣2＜x＜1时，m＝1﹣x，n＝x+2，m∧n＝①当﹣2＜x≤﹣时，m∧n＝②当﹣＜x＜1时，m∧n＝答：m∧n的值为1﹣x或x+2．
（3）把m＝x2+2x﹣3，n＝﹣x﹣3代入m∧n＝ m∧n＝
，得：
＝1﹣x； ＝x+2
；
①当x≤﹣3或x≥0时，m∧n＝x2+2x﹣3＝﹣2 解得x1＝﹣1+
，x2＝﹣1﹣
（不合题意，舍去）
②当﹣3＜x＜0时，m∧n＝﹣x﹣3＝﹣2； 解得x3＝﹣1； 综上所述，x＝﹣1+答：x的值为﹣1+
或﹣1． 或﹣1．
15．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象． （1）点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上，求m的值； （2）点B（n，2）在函数y＝﹣x2+4x的变换图象上，求n的值；
1）（3）将点C（﹣，向右平移5个单位长度得到点D．当线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t的变换图象有两个公共点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，点B代入解析式可求解； （3）分三种情况讨论，列出不等式或不等式组，可求解． 解：（1）∵点A（﹣1，4）在函数y＝x+m的变换函象上， ∴4＝﹣（﹣1+m）， ∴m＝﹣3， （2）根据题意， 当n＜0时，n2﹣4n＝2， 解得：n＝2﹣
，n＝2+
（舍去）
当n≥0时，﹣n2+4n＝2， 解得：n＝2±
，
或n＝2±
；
综上所述：n＝2﹣
（3）∵将点C（﹣，1）向右平移5个单位长度得到点D， ∴点D（，1）
当t＞1时，由题意可得：
∴t≤， ∴1＜t≤
当﹣1＜t≤1时，线段CD与函数y＝﹣x2+4x+t的变换图象有三个公共点，（不合题意舍去），
当t≤﹣1时，线段CD与y轴左侧图象没有交点，与y轴右侧图象有两个交点，可得：t+4＜1， ∴t＞﹣3， ∴﹣3＜t≤﹣1，
综上所述：t的取值范围为﹣3＜t≤﹣1或1＜t≤．
16．在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF＝α，∠ECF＝β，连接BE，EF，FD．
（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．
【分析】（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．证明M，D，T共线，再证明FM＝FT．DM＝DT即可解决问题．
（2）结论：EF2＝BE2+DF2．将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．证明∠FDM＝90°，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．
理由：∵AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．
∵∠EAF＝×90°＝45°，
∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠FAM＝∠FAE， ∵AM＝AE，AF＝AF，
∴△AFM≌△AFE（SAS）， ∴EF＝FM， 同法可证：EF＝FT， ∴FM＝FT，
∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠MDT＝90°+90°＝180°， ∴M，D，T共线， ∵DM＝BE，DT＝BE， ∴DM＝DT， ∴FD⊥MT， ∴∠FDM＝90°， ∴∠ADM+∠ADF＝90°， ∵∠ADM＝∠ABE， ∴∠ABE+∠ADF＝90°．
（2）结论：EF2＝BE2+DF2． 理由：∵AD＝AB，CD＝CB，
∴将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．
∵∠EAF＝×∠DAB＝α，
∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝α， ∴∠FAM＝∠FAE，
∵AM＝AE，AF＝AF， ∴△AFM≌△AFE（SAS）， ∴EF＝FM， 同法可证：EF＝FT， ∴FM＝FT，
∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠MDT＝90°+90°＝180°， ∴M，D，T共线， ∵DM＝BE，DT＝BE， ∴DM＝DT， ∴FD⊥MT， ∴∠FDM＝90°， ∴FM2＝DM2+DF2， ∵FM＝EF，DM＝BE， ∴EF2＝BE2+DF2．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0）．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．
（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为 （1，2） ， （﹣1，1） ； （2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）； （3）已知点B（﹣
，t），C（
，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半
圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据题意画出图形，求出PM，QN，OQ，OP即可解决问题． （2）如图1中，对于任意m，则有OQ＝PQ＝AP＝m，PM＝NQ＝m，可得结论． （3）求出两种特殊位置t的值即可判断：①如图2中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MH⊥BC于H，连接QM．②如图3中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NH⊥BC于H，连接PN． 解：（1）如图1中，
当m＝1时，A（0，3），P（0，2），Q（0，1）， ∴OQP＝PQ＝1，
由旋转的性质可知PM＝NQ＝1， ∴M（1，2），N（﹣1，1）， 故答案为（1，2），（﹣1，1）．
（2）如图1中，对于任意m，则有OQ＝PQ＝AP＝m，PM＝NQ＝m， 可得M（m，2 m），N（﹣m，m）．
（3）①如图2中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MH⊥BC于H，连接QM．
由题意：MQ＝BQ＝∵MH＝QH＝m， ∴m＝1，此时B（﹣
，
，1），C（，1），t＝1．
②如图3中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NH⊥BC于H，连接PN．
由题意：PN＝PB＝∵NH＝PH＝﹣m， ∴m＝﹣1， ∴P（0，﹣2） 此时B（﹣
，
，﹣2），C（，﹣2），t＝﹣2，
观察图象可知满足条件的t的值为﹣2≤t≤1．
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