离散数学课后习题答案第五章

第十四章部分课后习题参考答案

5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？

(G)。 在最少顶点的情况下，写出度数列、(G)、解：由握手定理图G的度数之和为：21020

3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。

其余顶点的度数共有6度。

其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,(G)4,(G)2.

7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求(D),(D)，

(D),(D),(D),(D).

解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.

(D)3,(D)2,(D)2,(D)1,(D)2,(D)1

8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？

解：由握手定理图G的度数之和为：2612

1

设2度点x个，则31512x12，x2，该图有4个顶点.

14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。

(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4

解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；

(2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；

18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。

证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：

所以，G1、G2、G3至少有两个是同构的。

20、已知n阶无向简单图G有m条边，试求G的补图G的边数m。

2

解：

mn(n1)m2

21、无向图G如下图

(1)求G的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥； (2) 求G的点连通度k(G)与边连通度(G)。

ae2be3e1de5ee4c

解：点割集: {a,b},(d)

边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}

k(G)=(G)=1

23、求G的点连通度k(G)、边连通度(G)与最小度数(G)。

解：k(G)2、(G)3 、(G)4

3

28、设n阶无向简单图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种非同构的情况？

3n2m解：2n3m 得n=6,m=9.

31、设图G和它的部图G的边数分别为m和m，试确定G的阶数。

118(mm)n(n1)mmn22解： 得

45、有向图D如图

(1)求v2到v5长度为1，2，3，4的通路数；

(2)求v5到v5长度为1，2，3，4的回路数；

(3)求D中长度为4的通路数；

(4)求D中长度小于或等于4的回路数；

(5)写出D的可达矩阵。

4

v1v4v5v2v3解：有向图D的邻接矩阵为：

0000101010202010100022A00000001A201002010A320201010000002020201010，20200000000004215404000152522A400004AA2A3A4221540400152204040 4225254

(1)v2到v5长度为1，2，3，4的通路数为0,2,0,0；

(2)v5到v5长度为1，2，3，4的回路数为0,0,4,0；

(3)D中长度为4的通路数为32；

(4)D中长度小于或等于4的回路数10；

5

00004

11P111(4)出D的可达矩阵11111111111111111111

第十六章部分课后习题参考答案

1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.

2、一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，问T有几个顶点?

解：设3度分支点x个，则

51323x2(53x1)，解得x3

T有11个顶点

3、无向树T有8个树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？根据T的度数列，请至少画出4棵非同构的无向树。

6

解：设4度分支点x个，则

81234x2(82x1)，解得x2

度数列111111113344

4、棵无向树T有ni (i=2，3，…，k)个i度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有几片树叶?

解：设树叶x片，则

niix12(nix1)，解得x(i2)ni2

评论：2，3，4题都是用了两个结论,一是握手定理，二是mn1

5、n(n≥3)阶无向树T的最大度至少为几？最多为几？

解：2，n-1

6、若n(n≥3)阶无向树T的最大度 =2，问T中最长的路径长度为几？

解：n-1

7、证明：n(n≥2) 阶无向树不是欧拉图.

7

证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。

8、证明：n(n≥2) 阶无向树不是哈密顿图.

证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。

9、证明：任何无向树T都是二部图.

证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。

10、什么样的无向树T既是欧拉图，又是哈密顿图?

解：一阶无向树

14、设e为无向连通图G中的一条边， e在G的任何生成树中，问e应有什么性质?

解：e是桥

15、设e为无向连通图G中的一条边， e不在G的任何生成树中， 问e应有什么性质?

解：e是环

23、已知n阶m条的无向图 G是k(k≥2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；

证明：数学归纳法。k=1时, m = n-1，结论成立；

设k=t-1(t-11)时，结论成立，当k=t时, 无向图 G是t棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶

8

点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1棵树，所以m = n-（k-1）.

所以原图中m = n-k

得证。

24、在图16.6所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树.

(1)指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.

(2) 指出T的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.

(a) (b)

图16.16

解：(a)T的弦：c,d,g,h

T的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}}

T的所有树枝: e,a,b,f

9

T的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}

(b)有关问题仿照给出

25、求图16.17所示带权图中的最小生成树.

(a) (b)

图16.17

解：

注：答案不唯一。

37、画一棵权为3，4，5，6，7，8，9的最优2叉树，并计算出它的权.

10

38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码?

A1={0，10，110，1111} 是前缀码

A2={1，01，001，000} 是前缀码

A3={1，11，101，001，0011} 不是前缀码

A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc} 是前缀码

A5={ b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba} 不是前缀码

41.设7个字母在通信中出现的频率如下:

a: 35% b: 20%

c: 15% d: 10%

e: 10% f: 5%

g: 5%

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用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.

解：

a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110

W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255

传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字.

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