2013年全国初中数学竞赛

2013年全国初中数学竞赛试题参

一、选择题

a2b3c0，abbcca1．设非零实数a，b，c满足则2的值为（ ）． 222a3b4c0，abc11（A） （C） （B）0 （D）1

222．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个非零实根x1，

x2，则下列关于x的一元二次方程中，以（A）c2x2(b22ac)xa20 （C）c2x2(b22ac)xa20

11，为两个实根的是（ ）． 22x1x2（B）c2x2(b22ac)xa20 （D）c2x2(b22ac)xa20

3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数．．．的为（ ）．

（A）OD （C）DE

（B）OE （D）AC

（第3题）

4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．

（A）3 （C）6

（B）4 （D）8

（第4题）

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：

xy3x3y3x2y2xy345x1y11821 9673360，

且xyzxyz，则2013201232的值为（ ）．

（A）

607 967（B）（C）

63 967（D）

163 967二、填空题

6．设a3，b是a2的小数部分，则(b2)3的值为 ．

2013年全国初中数学竞赛试题参

1

3

7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．

8．已知正整数a，b，c满足ab22c20，3a28bc0，

则abc的最大值为 ．

9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2cxd0的两根

（第7题）

bcd)为a，b，一元二次方程x2axb0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，为 ．

10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．

三、解答题

11．如图，抛物线yax2bx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴

1交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线yx1与y轴交于点D．

3求∠DBC∠CBE．

H，O共12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．

13

．

设

a，b，c是素数，记

（第11题）

xbca，ycab，zabc，当z2y,xy2时，

a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数815能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

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