山西省平遥中学2007-2008学年度第二学期期中考试高二数学试题

山西省平遥中学2007-2008学年度第二学期期中考试

高二数学试题

本试卷满分150分 考试时间120分钟

一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将

正确选项填在答题卡的相应位置上）

1．长方体ABCDA1B1C1D1的底面AC的中心为O，底面A1C1的中心为O1，那么以下三线不共点的是（ ）

A．AC1,BD1,B1D B．AC,BD,B1O Ｃ．BD1,BO1,B1O Ｄ．AC1,BD1,OO1 2．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线； ②与a所成的角是30；③与a的距离为2cm．那么，这样的直线有（ ）

Ａ．４条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．无数条

3．线段AB,CD在同一平面内的射影相等，则线段AB,CD的长度关系为（ ）

Ａ．ABCD Ｂ．ABCD Ｃ．ABCD Ｄ．无法确定

4．若m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） Ａ．若m,，则m Ｂ．若m,n，m∥n，则∥ Ｃ．若 m,m∥，则 Ｄ．若,，则

5．记者要为５名志愿者和他们帮助的２位老人拍照，要求排成一排，２位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）

Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．两个平面和相交但不垂直，直线m在平面内，则在平面内（ ） Ａ．一定存在与直线m平行的直线； Ｂ．一定存在与直线m垂直的直线 Ｃ．一定不存在与直线m平行的直线； Ｄ．一定不存在与直线m垂直的直线

7．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的２倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）

Ａ．3323 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 228．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长等于侧棱长，则异面直线E1C与AE所成的角为（ ）

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Ａ．arccos25331 Ｂ．arccos Ｃ．arccos Ｄ．arccos 4．给出下列四个命题：

①有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；

③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中不正确命题的个数为（ ）

Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ 10．球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的圆周长为4，那么这个球的半径为（ ）

Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．2 Ｄ．3 11．直线xm,yx将圆面xy4分成若干块，现用５种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是（ ）

Ａ．(2,2) Ｂ．(2,2) Ｃ．(2,2)(2,2) Ｄ．(,2)(2,)

12．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱AA1的中点，直线l过E点与异面直线BC,C1D1分别相交于M,N两点，则线段MN的长等于（ ）

Ａ．5 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，A1BC的面积为S，则B1点到平面A1BC的距离是 ．

14．某人制定了一份旅游计划，从7个旅游城市（其中含有A,B两个城市）中选择5个进行游览，如果A,B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A,B两个城市（A,B两城市可以不相邻），则不同的游览方案有 种．

15．已知P是正四面体VABC的面VBC上一点，点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹为 ．

16．有下列命题：①正方体的任意两条面对角线所成角为60或90；②有公共端点的两条

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221，经过这三个点的小6

斜线段与平面所成角相等，则它们在平面内的射影长相等；③若直线a不在平面内，

则a∥；④若异面直线a,b所成角为50，则过P且与a,bb,ba，P为空间一定点，

都成30的直线有且只有两条．其中正确命题的序号是 ．

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17．（本小题满分10分）

用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数.

(1)可组成多少个能被3整除的四位数?

(2)将组成的所有四位数按从小到大的顺序排成一列,问第88个数是什么? 18．（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，

1BC． 2（1）证明FO//平面CDE；

棱EF//（2）设BC3CD，证明EO平面CDF． 19．（本题满分12分）

如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1,CAB90,AB2,AA11,AC为A1B1的中点．（１）求二面角ABFC的大小．

（２）求点A到平面BCF的距离．

20．（本小题满分12分）

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知

S

ABC45，AB2，BC22，SASB3． （１）证明：SABC；

（２）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

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23,F 3 D

C A

B

A1中，如图1所示，在边长为12的正方形AAA1点B、且AB3,BC4， C在线段AA上，,AA1于点B1、P，,AA1于点C1、Q，作BB1∥AA1，分别交A1A1作CC1∥AA1，分别交A1A1将该正方形沿BB1,CC1折叠， 使得AA1与AA1重合，构成如图2 所示的三棱柱ABCA1B1C1．

AB图1A1B1C1A'1B1A1C1QQPPBCA'CA图2（1）在三棱柱中ABCA1B1C1，求证：AB平面BCC1B1；

（2）求平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比； （3）在三棱柱ABCA1B1C1中，求直线AP与直线AQ所成角的余弦值． 122．（本小题满分12分）

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm，② 三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；

（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度．

一．选择题 CDDCB BABAB AC

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ABOC

二、填空题 13．三、解答题

V 14．600 15．椭圆的一部分 16．③④ S17．解：(1)96； ………………5分

（２）2310 …………………10分

18． 解：（1）证明：取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中，OM//11BC，又EF//BC， 22则EF//OM，连结EM，

于是四边形EFOM为平行四边形.FO//EM

又FO平面CDE，切EM平面CDE，

∵FO∥平面CDE ………………6分

（2）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，

CMDM,EMCD且EM31CDBCEF. 22因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD

⊥EO.而FMCDM，所以EO⊥平面CDF. ……………………12分

19． 解：（法一）（1）过F作FGAB于G，∵F是A1B1的中点，又矩形ABB1A1中，

AB2,AA11，故四边形AA1FG与FGBB1均为正方形，

∴BFGAFG45,AFBF.AC面ABB1A1，

CFA为二面角ABFC的平面角． ………………４分

236AC63又tanCFA，∴二面角ABFC的大小为arctan……６分

3AF32（２）由（１）得BF面ACF，故面BCF面ACF

在RtACF中，过A作APFC于P，

则AP就是点A到平面BCF的距离． …………………10分

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APACAFFC2323(23)2(2)2325, 5即点A到平面BCF的距离为

25. ……………………………12分 5解：(法二)在直三棱柱ABCA1B1C1中,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由已知AB2,AA11,AC2323,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1),C(0,,0). 33(1) 设平面ABB1A1的一个法向量m(0,1,0).n(x,y,z)是平面BCF的一个法向量,

xz0nBF023xzBC(2,,0),由,可得,即 233y03xy2xnBC03mn15令z1,可得n(1,3,1),所以cosm,n.

5mn即二面角ABFC的大小为arccos15 . ……………………………6分 5(2) 点A到平面BCF的距离即在AB平面BCF的法向量n的投影的绝对值,

ABn2525即d. 所以点A到平面BCF的距离为.……………12分 55n

20． 解：（法一）（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．

因为SASB，所以AOBO，又∠ABC45，故△AOB为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得SA⊥BC AO⊥BO………6分

（２）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

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S E D C A

O B

故SA⊥AD，由ADBC22，SA3，SD又AOABsin45AD2SA211．

2，作DE⊥BC，垂足为E，

则DE⊥平面SBC，连结SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．

sin∠ESD所

以

，

EDAO222 SDSD1111直

线

SD与平面

SB所

成角的正弦值为

22． ………………………………………………12分 11 解：（法二）（１）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥z 平面ABCD．因为SASB，所以AOBO． S 又∠ABC45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向， 建立直角坐标系Oxyz，

因为AOBOD C A B O x

2AB2，SOSB2BO21， 2y 0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)． 又BC22，所以A(2，0，1)，CB(0，22，0)，SACB0，所以SA⊥BC．……6分 S(0，0，1)，SA(2，22，1)，OA(2，0，0). （２）SDSAADSACB(2，OA与SD的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为OA为平面SBC的法向

22OASD22量，所以与互余．cos，sin， 1111OASD所以，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为

22．………………………12分 1121． 解：（1）证明：因为AB3,BC4，所以AC5，从而有AC2AB2BC2，即

ABBC．

A1第 7 页共 9 页 B1C1A'1A1B1C1QQ

又因为ABBB1，而BCBB1B，所以

AB平面BCC1B1； ………………… 4分

（2）因为BPAB3，CQAC7，

(BPCQ)BC(37)420

2211从而VABCQPSBCQPAB20320． 又因为

331VABCA1B1C1SABCAA1341272

2所以SBCQP所以平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比为

V上72205213V下20205 ………………… 8分

（3）如图建立空简直角坐标系，则A(3,0,0),P(0,0,3),A1(3,0,12),Q(0,4,7)，

(3,4,5)．设直线AP与直线AQ所以AP(3,0,3),AQ所成角为，则 11APAQ161cos． ………………… 12分 32525APAQ1

22． 解：（1）设△ABC的重心为H，连结OH.

203 由题意可得，BH.

3设细钢管上下两段之比为.

ABOC30 已知凳子高度为30. 则OH. ………………… 3分 1 节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，

且凳面与地面平行.

 OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即

OBH45. BHOH,30203， 13第 8 页共 9 页

解得，230.63. …………………… 6分

923 即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设B120,ABBC24，AC243. 设△ABC的重心为H，则BH8,AH87， ………… 9分

由节点O分细钢管上下两段之比为2:3，可知OH12. 设过点A、B、C的细钢管分别为AA、BB、CC，

55OAOH2AH21037， 2255 BBOBOH2BH21013，

22 则 AACC  对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为1037cm、1013cm和

1037cm. …………………… 12分

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