高中数学解题中“主元思想”的应用

高中数学解题中“主元思想”的应用

在数学解题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，来指导解题的一种思想方法．这一思想方法运用的核心是确定“主元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向．

下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”：

[例1]设不等式mx2—2x－m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成立，求x的取值范围．

[分析1]可以将原不等式化为（x2－1）m﹤2x－1①，采用分离变量法，视x为主元，通过讨论x2－1的符号来求解．

[解答1]（1）当x2－1=O即x=±1时，①成立2x－1﹥O，∴x=1；

2x12（2）当x2－1﹥0即x﹤－1或x﹥1时，由①式得m﹤x1，

x2102x1132x1222x1由题意知﹥2，由此得不等式组x1，解得1﹤x﹤2；

2x12（3）当x2—1﹤0即－1﹤x﹤1时，由①得m﹥x1，

x2102x1712x1222由题意知x1﹤－2，由此得不等式组x1，解得2﹤x﹤1；

7131综上可知：2﹤x﹤2．

[分析2]视m为主元，将原不等式看成关于m的不等式，进而将不等式的左边看成关于m的函数，利用函数的性质解题．

[解答2]设f（m）=（x2－1）m+1－2x，

则︱m︱≤2时，恒有f（m）﹤0，

2f(2)2x2x107131x2f(2)2x2x30，解得22． ∴[点评]上述两种解法都运用了“主元思想”，但从解题过程来看，视m为主元比视x为主元要简便得多．事实告诉我们，若能稍微改变一下思维习惯，在含有多个变量的问题中，合理运用“主元思想”，优先考虑如何选择主元是十分必要的．

2≥2[例2]设a、b、c、d是实数，且满足（a+b+c）（a2+b2+c2）+4d，求证：ab+bc+ac

≥3d．

[分析]原不等式为关于a、b、c的对称轮换式，若能证明ab≥d，则同理可证bc≥d，ac≥d，从而命题得证．三个变量在解题中具有等同地位，谁可以作为主元？由于题设中的不等式可变形为c2－2（a+b）c+a2+b2－2ab+4d≤0，从变形的结构形式看，此时可以视c为主元，构造函数f（x）=x2－2（a+b）x+a2+b2－2ab+4d，进而通过研究该函数的性质来帮助寻找ab与d的不等关系．

[解答]如分析中所设，易知f（x）是开口向上的抛物线，

∵f（c）≤0，从而抛物线与x轴有交点，

∴△=4（a+b）2－4（a2+b2－2ab+4d）≥0，即 ab≥d，

同理，若分别视a、b为主元，则可证得bc≥d，ac≥d，

∴ab+bc+ac≥3d，证毕．

[点评]对于含有多个变量的等式或不等式，可以运用“主元思想”来指导对式子的整理和变形，从多个变元中选择出一个作为主元，可以使我们的研究目标更加清晰，以便于在纷繁复杂的关系中理出头绪．许多看似复杂、困难的问题，运用这样的思想方法去求解，常常可以收到“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．

最后给出两个问题留给读者作为练习：

3（1）已知a、b、c∈R，a+b+c=0，abc=1，求证a、b、c中至少有一个大于2．

（2）已知k=a+x=b+y=c+z，a，b，c，x，y，z均为正数，求证：ay+bz+cxk2．

参考解答：

（1）由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中，得-ac（a+c）=1ac2+a2c+1=0，

3将该式视C为未知数（主元）的方程，则△=a4-4a≥0，∵a0，∴a≥

3432，若在该式视

a为主元，则可得c≥

432，故原命题成立．

（2）由条件可知x=k－a，y=k－b，z=k－c，k0，a、b、c ∈（0，k），记f（a）=ay+bz+cx，则将x，y，z代入后得：f（a）=（k-b-c）a+bk+ck-bc（0ak），其中0b，ck，

当b+c≥k时，f（a）f（o）=bk+ck－bc=k2－（k－b）（k－c）k2

当b+ck时，f（a）f（k）=（k－b－c）k+bk+ck－bc=k2－bck2

综上可知：f（a）k2，即ay+bz+cxk2．