一元二次、三次方程的通解

徐厚骏

㈠一元二次方程的通解

以下形式的一元二次方程我们很容易解

x2-c=0其解为x=±c，

现在要讨论标准型方程ax2+bx+c=0可改写为

bcx+x+=0……………⑴

aa2

如果x1，x2为方程的两个根，有根与系数的关系：

b=−(x1+x2);ac=x1x2a我们对方程⑴进行变换，令

x=y−

b…………………⑵2a代入方程⑴，则有

b2bbc(y−)+(y−)+=0，整理后为

2aa2aa1bcy2−()2+=0

4aa改写为

b2−4ac……………⑶y=2

4a2

显然，方程⑶的解为

-1-

b2−4acy=±

4a2再代入⑵式，得

−b±b2−4ac………………⑷x=

2a这就是一元二次方程的通解公式。

㈡一元三次方程的通解

x3+a1x2+a2x+a3=0………………⑸

一元三次方程式：

如果x1，x2，x3为方程的三个根，有根与系数的关系：

a1=-(x1+x2+x3)a2=x1x2+x1x3+x2x3a3=-x1x2x3也可以求其通解

1

令x=y−a1代入⑸，得

3

y3+py+q=0……………⑹

1123

其中：p=a2−a12，q=a3−a1a2+a1，

3327令i=−1;

2

23

qqpA=3−++;

2427

23

qqpB=3−−+,

2427

则三个根分别是：

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y1=A+B1i3y2=−(A+B)+(A−B)

221i3y3=−(A+B)−(A−B)

22

我们令∆=27q2+4p3，称作判别式，显然⒈Δ>0时有一个实根和一对复根；

⒉Δ=0时有三个实根，特别当27q2=−4p3≠0时，三个实根中有两个相等，p=q=0，时有三重零根；⒊Δ<0时有三个不等的实根。

㈢一元四次方程的通解公式

一元四次方程

x4+bx3+cx2+dx+e=0………………………………………⑺的根与下列两个方程式的根一致：

x2+(b+8y+b2−4c)x2+(b−8y+b2−4c)其中y为三次方程：

xby−d+(y+)=0

228y+b−4cxby−d+(y−)=0

228y+b−4c……………⑻

8y3−4cy2+(2bd−8e)y+e(4c−b2)−d2=0……………………⑼的任一个实数根。

下面列出四次方程的根与系数的关系：

-3-

b=−(x1+x2+x3+x4)

c=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4d=−(x1x2x3+x1x3x4+x2x3x4)e=x1x2x3x4

四次以上的方程没有公式解法，只能用分析方法求其近似值，这里不再多介绍。

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