第二章 2.6对数函数-教师版

第1课时

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × )

(3)函数y＝log2x及y＝log13x都是对数函数．( × )

3进门测

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) 1＋x

(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )

1－x

1(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )

作业检查

无

第2课时

1

阶段训练

题型一 对数的运算

例1 (1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2mn＝________. 1－log632＋log62·log618

(2)计算：＝________.

log答案 (1)12 (2)1

解析 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， ∴a2mn＝(am)2·an＝22×3＝12. (2)原式

6

1－2log63＋log632＋log6·log66×3

3

＝

log1－2log63＋log632＋1－log631＋log63＝

log1－2log63＋log632＋1－log632＝

log21－log63log66－log63log62＝＝＝＝1.

2log62log62log62思维升华 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数

＋

＋

2

的积、商、幂的运算．

2log3log43＝________，22＝________. 2

(1)计算：log2

(2)2(lg2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1＝________. 1

答案 (1)－ 33 (2)1

2

121

解析 (1)log2＝log22 2＝－，

22

2log23log43＝2log23×2lg43＝3×3＝33.

11

(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 2－12

2211

＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 2211

＝lg 2＋1－lg 2＝1. 22

题型二 对数函数的图象及应用

例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A．a>1，c>1 C．01

B．a>1,01

(2)当02

3

A．(0，

2) 2

B．(

2，1) 2

C．(1，2) 答案 (1)D (2)B

D．(2，2)

解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0211122图象，可知f()，所以a的取值范围为(，1)．

22222

思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

4

|lg x|，0(2)已知函数f(x)＝1若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围

－x＋6，x>10，2是( ) A．(1,10) C．(10,12) 答案 (1)B (2)C

1－

解析 (1)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3x＝()x，显

3然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.

1

(2)方法一 不妨设a2

11

B．(5,6) D．(20,24)

而abc＝11，故选C.

方法二 作出f(x)的大致图象(图略)．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设ab＝－c＋6，∴lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.

2由图知10－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝

f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

5

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a

答案 C 解析 由f(x)＝2|x

－m|

－1是偶函数可知m＝0，

所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f(loglog0.530.53)212log2312，

b＝f(loglog2525)212log251＝4，

c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c例4 (1)若log2

a3

<1，则a的取值范围是________．

3x＋

1x≤0，(2)已知函数f(x)＝

logxx>0，

则不等式f(x)>1的解集为________．

13答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)(－1，1

3)

解析 (1)当a>1时，函数y＝log2

ax在定义域内为增函数，所以loga3故0.

综上，a的取值范围为(0，2

3

)∪(1，＋∞)．

6

(2)若x≤0，则不等式f(x)>1可转化为3x＋

1>1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－10，则不等式f(x)>1可转化为log3x>1⇒x<1

3，

∴03

.

综上，不等式f(x)>1的解集是(－1，1

3)．

命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0，得－1则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

7

a>0，1即3a－1解得a＝.

2

a＝1，

1

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.

2思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；

③借用中间量(0或1等)进行估值比较．

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

1x2，x≤1，

(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )

1－log2x，x>1，

－

A．[－1,2] C．[1，＋∞)

B．[0,2] D．[0，＋∞)

4

(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若对任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是

x__________．

答案 (1)D (2)[4，＋∞)

解析 (1)当x≤1时，21x≤2，解得x≥0， 所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2， 1

解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.

2(2)由题意知，函数f(x)的值域为R，

－

8

4

∴t＝x＋－a的值域为[0，＋∞)，

x4

由x>0，知x＋≥a.

x

∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质

第3课时

阶段重难点梳理

9

①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式

log＝logabcb

logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

3．对数函数的图象与性质

a>1 01时，y>0 当x>1时，y<0 当00 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 【知识拓展】

1．换底公式的两个重要结论 (1)log1

ab＝logba

；

10

n

(2)logambn＝logab.

m

其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0典例 (1)若a>b>0,0B．logcacb

重点题型训练

(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则( ) A．b>c>a C．a>b>c

B．b>a>c D．c>a>b

(3)若实数a，b，c满足loga2B．b11

解析 (1)对A：loglg clg c

ac＝lg a，logbc＝lg b，

∵0b>0，所以lg a>lg b， 但不能确定lg a、lg b的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A错； 对B：loglg alg b

ca＝lg c，logcb＝lg c

，

而lg a>lg b，两边同乘以一个负数1

lg c改变不等号方向，所以选项B正确；

对C：由y＝xc在第一象限内是增函数， 即可得到ac>bc，所以C错； 对D：由y＝cx在R上为减函数， 得ca(2)因为20.3>20＝1,0＝logπ1b>c，故选C.

(3)由loga21．设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则( ) A．ab＝ee B．ab＝e C．ab＝1

e

D．ab＝1

12

答案 D

解析 ∵|ln a|＝|ln b|且a≠b，∴ln a＝－ln b，∴ab＝1. 2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )

答案 B

解析 由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．

1log30.3log23.4log43.655(3．已知a＝，b＝，c＝)，则( )

5A．a>b>c C．a>c>b 答案 C

10log31log30.33解析 c＝()＝5，

5B．b>a>c D．c>a>b

1010

∵log3>log33＝1且<3.4，

3310

∴log33

13

∵log3.6444＝33>1，

∴log3.6433.

∴log10

23.4>log33>log43.6.

10由于y＝5x为增函数，∴5log23.4>5log33>5log43.6.

即5log23.4>(1log30.35)>5log43.6，故a>c>b.

4．函数y＝log0.54x－3的定义域为________． 答案 (3

4

，1]

解析 由log3

0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得4

作业布置

1．函数y＝lgx＋1

x－1的定义域是( )

A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)

答案 C

解析 要使lgx＋1

x－1有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )

14

A．b解析 ∵a＝log37，∴12. ∵c＝0.83.1，∴0B．c3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

答案 C

解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.

log25－x，x≤1，

4．已知函数f(x)＝则f(2 018)等于( )

fx－1＋1，x>1，

A．2 019 B．2 018

15

C．2 017 答案 A

解析 由已知f(2 018)＝f(2 017)＋1 ＝f(2 016)＋2＝f(2 015)＋3

D．2 016

＝…＝f(1)＋2 017＝log2(5－1)＋2 017＝2 019.

5．若直线x＝m(m>1)与函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若AB＝2BC，则( ) A．b＝a2或a＝b2 C．a＝b

－1

B．a＝b

－1

或a＝b3

或b＝a3 D．a＝b3

答案 C

解析 当a>1>b时，则A(m，logam)，B(m，logbm)，C(m,0)， 由AB＝2BC，得|logam－logbm|＝2|logbm|， 即logam－logbm＝－2logbm， 所以logam＝－logbm， lg mlg m－即＝－，所以a＝b1； lg alg b当b>a>1时，由AB＝2BC， 得|logam－logbm|＝2|logbm|， 即logam－logbm＝2logbm，

lg mlg m所以logam＝3logbm，即＝，

3lg alg b所以b＝a3，所以a＝b

－1

或b＝a3，故选C.

16

31

6．若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为

22( )

A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) 答案 A

31

解析 令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为

22增函数，

393

又M＝(x＋)2－，因此M的单调递增区间为(－，＋∞)．

4133

又x2＋x>0，所以x>0或x<－，

22所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 1－15

7．lg＋2lg 2－2＝________. 2答案 －1

1－155解析 lg ＋2lg 2－＝lg ＋lg 22－2 2225＝lg 2×4－2＝1－2＝－1. 8．函数f(x)＝log2x·log1答案 －

4

解析 f(x)＝log2x·log

2(2x)＝B．(2，＋∞) 1

D．(，＋∞)

2

2(2x)的最小值为________．

1

logx·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)． 22

设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为

17

11

y＝t(t＋1)＝(t＋)2－(t∈R)，

241

故该函数的最小值为－，

41

故f(x)的最小值为－.

4

12

9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．

231

答案 (，1)

3

12

解析 当02344

所以loga(－a)>0，即0<－a<1，

33141

解得333

12

当a>1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，

23所以loga(1－a)>0，即1－a>1， 解得a<0，此时无解．

1

综上所述，实数a的取值范围是(，1)．

3

2x，x≥0，

*10.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，则实数x的取值范围是

log2－x，x<0，

________．

答案 2 (－∞，－4]∪[1，＋∞)

解析 ∵f(－2)＝log22＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝2. 当x≥0时，由2x≥2，得x≥1；

18

当x<0时，由log2(－x)≥2，得－x≥4，∴x≤－4. ∴实数x的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．

*11.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； 3

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．

2解 (1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，∴a＝2.

1＋x>0，由得－10，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x) ＝log2[－(x－1)＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数．

3

故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.

2

11

12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的

28值．

1

解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)

2

2

19

＝12[(log)2＋3log131axax＋2]＝2(logax＋2)2－8. 当f(x)取最小值－138时，logax＝－2.

又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得． 若12(log2＋32)2－18＝1，则a＝2－1

a3， 此时f(x)取得最小值时，

13x＝(23)2＝2∉[2,8]，舍去．

若132(log22－18＝1，则a＝1

a8＋)2

， f(x)取得最小值时，x＝(1)3此时22＝22∈[2,8]，

符合题意，∴a＝1

2

.

13．已知函数f(x)＝1

1＋xx－log21－x.

(1)求f(x)的定义域； (2)判断并证明f(x)的奇偶性；

(3)求证：f(x)在(0,1)内是减函数，并求使关系式f(x)2)成立的实数x的取值范围．x≠(1)解 函数f(x)有意义，需

0，1＋x

1－x

>0，

20

解得－1∴函数定义域为{x|－1∵f(－x)＝－11－x1

1＋xx－log21＋x＝－x＋log21－x

＝－f(x)，

又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称， ∴f(x)为奇函数．

(3)证明 设01xx11

1x2>0，2－x1>0，∴x1－x2>0.

又1＋x11＋x1－x1－22x1－x21－x2＝1－x11－x2， 1－x1>0,1－x2>0，x1－x2<0， ∴0<1＋x11＋x2

1－x1<1－x2，

∴log1＋x11＋x2

21－x1.

由①②得f(x＝(11

1＋x21＋x11)－f(x2)x1－x2)＋(log21－x2－log21－x1)>0，∴f(x)在(0,1)内为减函数，又f(x)2)，

∴使f(x)2

，1)．

①

②

21