高中数学必修2同步练习与单元检测第3章 习题课

习题课 直线的位置关系与距离公式

【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．

1．

1两点P1x1，y1，P2x2，y2的距离

12

 |PP|＝ .三个距2点Px，y到直线l：Ax＋By＋C＝0离公式 的距离d＝ .

3平行线l：Ax＋By＋C＝0与l：Ax＋ By＋C＝0间的距离d＝ .

0

01

1

2

2

2．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称

点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′________________． (2)点关于直线的对称

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组x＋xy＋yA·12＋B·12＋C＝0，22可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，

x1≠x2)．

(3)线关于点、线的对称

线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．

一、选择题

1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为( ) A．(－13,1) B．(－2，－6) C．(－1，－3) D．(17，－9)

2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( ) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0

3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A．(5，－3) B．(9,0) C．(－3,5) D．(－5,3)

4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( ) A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为( ) A．5 B．－5 C．4 D．－4

6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则x2＋y2－2x－4y＋5的最小值是( )

31

A． B． C．13 D．不存在

1313

二、填空题

7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为________________．

8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，

1

且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为________．

4

9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________．

三、解答题

10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．

11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程． (1)l′与l平行且过点(－1,3)；

(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4； (3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．

能力提升

12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．

13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P的坐标．

1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．

2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．

3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．

习题课 直线的位置关系与距离公式 答案

知识梳理

|Ax0＋By0＋C|

1．(1)x2－x12＋y2－y12 (2) 22A＋B

|C2－C1|(3)2

A＋B2y1－y2B

2．(1)(2a－x0,2b－y0) (2)＝

x1－x2A

作业设计

1．C [设对称点为(x0，y0)，

则由x＋3y＋9

2＋3·2－10＝0，

0

0

y0－9

＝3，x0－3

x0＝－1，得] y0＝－3.

5

－，0，由对称直线的特征知，所求直线斜2．B [直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为33

率为k＝－．

4

53

x＋，即3x＋4y＋5＝0．] ∴y＝－43

3．A [当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]

4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知得

4

k＝，满足题意．故共存在2条直线．] 331

5．C [把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝，

831

把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴8又∵b为整数，∴b＝4．] 6．A [

x2＋y2－2x－4y＋5＝x－12＋y－22，

|3－k|

2

＝1，解k＋1

它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，

两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离， |1×5＋2×12－60|31∴d＝＝．]

1313

7．3x－y＋3＝0 8．x－2y＋5＝0

1

解析 由已知，直线AB的斜率k＝，

21

∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝．

21

∵△CEF的面积是△CAB面积的，

4

∴E是CA的中点，

551

0，，直线EF的方程是y－＝x，即x－2y＋5＝0． ∴点E的坐标222

9．513 解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分，

得

a－3b＋5

3×2－4×2＋4＝0.

∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝且B在直线l2上，

b－53

×＝－1，a＋34

解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，

3－22＋－3－152＝513．

10．解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，

4x0＋y0＋6＝0，由 －3x0＋5y0－6＝0，

解得6

y＝23，

0

36x0＝－，23

6231

∴所求直线方程为y＝x＝－x，

366－23即x＋6y＝0．

3

11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，

4

3

又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－．

43

∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．

44

(2)∵l′⊥l，∴kl′＝．

3

4

设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，

3

14

－b＝4， 由题意可知，S＝|b|·

23∴b＝±6．

44

∴直线l′：y＝(x＋6)或y＝(x－6)．

33(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l′与l关于原点对称．

任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)． x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0． ∴l′为3x＋4y＋12＝0．

12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．设A′(a，



b)，则

4＋ab－1

2×2－2－4＝0

b＋1

×2＝－1a－4

．

a＝0解得，所以|A′B|＝4－12＋3－02＝32．

b＝1

13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点， ∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得

|PM|2＋|PN|2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4．(m∈R)

21212m－2＋≥， 令f(m)＝10m2－8m＋4＝10555

212

，－． ∴当m＝时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P555