2021届中考数学总复习 《一次函数》复习题 (22)

2021届中考数学总复习 《一次函数》复习题

1．如图1，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．

（1）求出点A，点B的坐标．

（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．

（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；

（2）设P（m，m+2），根据面积公式列方程即可得到结论；

（3）如图2，①当点B1是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得到结论；②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，根据平移的性质得到直线A1B1的解析式为y＝x+b，

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根据两点间的距离公式即可得到结论；③当P是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）设y＝0，则x+2＝0，

解得：x＝﹣4，

设x＝0，则y＝2，

∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；

（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），

∴OC＝2，OB＝2，

∵P是直线AB上一动点，

∴设P（m，m+2），

∵△BOP和△COP的面积相等，

∴×2（﹣m）＝2×（m+2），

解得：m＝﹣，

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∴点P坐标为（﹣，）；

（3）存在；

理由：如图2，

①当点B1是直角顶点时，

∴B1Q＝B1A1，

∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，

∴∠OA1B1＝∠QB1H，

在△A1OB1和△B1HQ中，，

∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），

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∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，

∴B1（0，﹣2）或（0，2），

当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），

当点B1（0，2）时，

∵B（0，2），

∴点B1（0，2）（不合题意舍去），

∴直线AB向下平移4个单位，

∴点Q也向上平移4个单位，

∴Q（﹣2，2），

②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，

∵直线AB的解析式为y＝x+2，

由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，

∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），

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∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，

∵A1B1⊥A1Q，

∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b

∴Q（2，﹣4﹣4b），

∴A1Q2＝（﹣2b﹣2）2+（4+4b）2＝20b2+40b+20，

∴20b2+40b+20＝5b2，

∴b＝﹣2或b＝﹣，

∴Q（﹣2，4）或（﹣2，﹣）不符合题意，舍去；

③当P是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，

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∴A1Q＝B1Q，

∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，

∴∠QA1C＝∠CQB1，

∵m∥y轴，

∴∠CQB1＝∠QB1H，

∴∠QA1C＝∠QB1H

在△A1QC与△B1QH中，，

∴△A1QC≌△B1QH（AAS），

∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，

∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），

即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，4）

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，判断△A1OB1≌△B1HP是解本题的关键．

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